已知$x\in(0,\frac{\pi}{2})$,求$\cot\frac{x}{8}-\cot x$的值域

Tesla35

已知$x\in(0,\frac{\pi}{2})$,求$\cot\frac{x}{8}-\cot x$的值域
经验证是单调递减的，有啥好方法证明
令$y=\cot\frac{x}{8}-\cot x$,
则$y'=-\frac{\frac{1}{8}}{\sin^2\frac{x}{8}}+\frac{1}{\sin^2x}<0\iff 8\sin^2\frac{x}{8}<\sin^2x\iff2\sqrt{2}\sin\frac{x}{8}<\sin x$
而$0<\frac{x}{8}<x<\frac{\pi}{2}$.
显然成立。
$x\to0^+$只能用极限说明了？

isee

回复 1# Tesla35

$y=\cot x$ 在 $0$ 两侧极限都不存在($x=0$ 是第二类间断点)，要么如 $y=1/x$ 一样承认图象非常熟悉，要么就动极限，而且，此题多半不是高考范围内的…… 即便是也是十多年前的，那时 $y=\cot x$ 的图象是要求掌握的……

我更想知道的是这个下确界值怎么求.

kuing

$x\to0^+$只能用极限说明了？
Tesla35 发表于 2021-12-6 22:15

可以证明：对 `x\in(0,\pi/2)`, `a\in(0,1)`，恒有
\[\cot(ax)-\cot x>\frac{1-a}x,\quad(*)\]令
\[g(a)=\cot(ax)-\cot x-\frac{1-a}x,\]则
\[g'(a)=-\frac x{\sin^2(ax)}+\frac1x=\frac{\sin^2(ax)-x^2}{x\sin^2(ax)}<\frac{(ax)^2-x^2}{x\sin^2(ax)}<0,\]所以 `g(a)>g(1)=0`，即得证。

注：这是由拉格朗中值构造的式 (*)，改由导数证明，变换主元

色k

回复 2# isee

你是说算cot(π/16)？用两次倍角公式不就好了吗？

isee

回复 4# 色k