已知函数绝对值的最大值，求系数和

lemondian

已知函数$f(x)=4x^3+ax+b$，当$x\in[-1,1]$时，$|f(x)|\leqslant 1$恒成立，求$a+b$的值。

lemondian

回复 2# isee


    不好意思，多写个x.

色k

《撸题集》P.203 题目 2.3.2

lemondian

回复 3# 色k
谢谢！学习中

长沙发哥

切比雪夫多项式中，这类问题超级多，

isee

我觉得眼熟，不仅仅因为坛了里一堆这样的题，应该是因为这是广东省高三12月份模拟卷中的吧.

解一下吧，也是温习一下.  而且在知乎提问中也碰到了

还是分参 $$-ax-b-1\leqslant 4x^3\leqslant -ax-b+1,$$
这就是说三次函数 $g(x)=4x^3$ 的图象夹在平行线—— $y=3x\pm 1$，即 $a=-3,b=0$——之间.  作为填空题可以写结果了，以下是严格证明.

通过图象的切线，尝试采用过 $(1,4)$，$(-1,-4)$ 切线的切点及两端点的函数值 $f(\pm 1),f(\pm 1/2)$：

注意到\[-f(-1)+f(1)+2f(-1/2)-2f(1/2)=(4+a-b)+(4+a+b)+(-1-a+2b)+(-1-a-2b)=6,\]则有
\[6\geqslant \bigg|f(-1)\bigg|+\bigg|f(+1)\bigg|+2\bigg|f(-1/1)\bigg|+2\bigg|f(1/2)\bigg|\geqslant \bigg|-f(-1)+f(1)+2f(-1/2)-2f(1/2)\bigg|=6,\]

取"="时 $-f(-1),f(1),f(-1/2),-f(1/2)$ 同号且相等，即同时为 $1$（或$-1$——这里同为 $-1$ 无解.）

计算\[\left\{\begin{aligned}
4+a-b&=1,\\[1ex]
4+a+b&=1,\\[1ex]
-1-a+2b&=2,\\[1ex]
-1-a-2b&=2
\end{aligned}\right.\]便知 $a+b=-3+0=-3$.