一个数列求和有关的多选题

lemondian

由12#可知，满足条件的数列可能不唯一。
如$k=12$时，就可以有不同的数列。
那么问题来了：满足条件的数列有多少个？有没有规律？(例如：当$k=12，S_k=100$时)

kuing

回复 21# lemondian

那就变成另一种问题：不定方程的解数。

沿用 5# 的符号，`b_n\in\{0,1,2\}` 且 `S_n=\frac12n(n+3)+2[(n-1)b_2+(n-2)b_3+\cdots+b_n]`。

要算 `k=12`, `S_k=100`，即 `11b_2+10b_3+\cdots+b_{12}=5` 的解数，也就是\[(1+x^{11}+x^{22})(1+x^{10}+x^{20})\cdots(1+x+x^2)\]的展开式的 `x^5` 的系数，由于 6 次以上不用考虑，只要考虑\[(1 + x + x^2) (1 + x^2 + x^4) (1 + x^3) (1 + x^4) (1 + x^5),\]从后面逐步展开忽略 6 次以上的，即
\begin{gather*}
(1 + x + x^2) (1 + x^2 + x^4) (1 + x^3 + x^4 + x^5),\\
(1 + x + x^2) (1 + x^2 + x^3 + 2 x^4 + 2 x^5),
\end{gather*}那么 `x^5` 的系数就是 2+2+1=5。

isee

回复 22# kuing

母函数都来了