级数不等式

长沙发哥

如何解决呀？感觉有卡尔曼影子，但是
没啥思路

hbghlyj

B2 试确定和式
$$
S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}\left(a_1 a_2 \cdots a_n\right)^{\frac{1}{n}}
$$
的最大值, 其中 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 取遍全体满足
$$
\sum_{k=1}^{\infty} a_k=1
$$
的非负实数列.

hbghlyj

对$a_1,\dots,a_n$用AM-GM
\[\left(a_1 a_2 \cdots a_n\right)^{\frac{1}{n}}\le\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n\]
于是
$$S\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{2^n}=\sum_{k=1}^\infty\left(\sum_{n=k}^{\infty}\frac1{2^n}\right)a_k=\sum_{k=1}^\infty\frac1{2^{k-1}}a_k$$
唉，不能得到$\sum a_k$

hbghlyj

截前8项搞一下数值：

1. FindMaximum[{Sum[n/2^n Product[a[i],{i,n}]^(1/n),{n,8}],Sum[a[i],{i,8}]==1},Table[{a[i],.5},{i,8}]]

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{0.666607,{a[1]->0.750162,a[2]->0.18749,a[3]->0.0468413,a[4]->0.0116884,a[5]->0.0029055,a[6]->0.000713055,a[7]->0.00016718,a[8]->0.0000323505}}
猜测最大值是$2/3$
取等时$a_n$是公差为4的等比数列，即$$a_n=\frac3{4^n}$$
要证明$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}\left(a_1 a_2 \cdots a_n\right)^{\frac{1}{n}}\le\frac23\sum_{n=1}^\infty a_n$

hbghlyj

修正3#的解法：
对$4^1a_1,\dots,4^na_n$用AM-GM
\[\left(4^1a_1\cdot4^2a_2\cdots 4^na_n\right)^{\frac{1}{n}}\le\frac{4^1a_1+4^2a_2+\cdots+4^na_n}n\]
即
\[2^{n+1}\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac{1}{n}}\le\frac{4^1a_1+4^2a_2+\cdots+4^na_n}n\]
于是
$$S\le\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^1a_1+4^2a_2+\cdots+4^na_n}{4^n}=\frac12\sum_{k=1}^\infty\left(\sum_{n=k}^{\infty}\frac{4^k}{4^n}\right)a_k=\frac23\sum_{k=1}^\infty a_k$$
做完

hbghlyj

这帖的第一个回答有Carleman's Inequality的证明，出自The Cauchy-Schwarz Master Class
其中的一部分：\begin{align*}
\sum \limits_{k=1}^\infty (a_1 a_2 \cdots a_k)^{1/k}
&=
\sum \limits_{k=1}^\infty
\frac{(a_1 c_1 a_2 c_2 \cdots a_k c_k)^{1/k}}{(c_1 c_2 \cdots c_k)^{1/k}}\\
&\leq
\sum \limits_{k=1}^\infty
\frac{a_1c_1 + a_2c_2 + \cdots + a_k c_k}{k(c_1 c_2 \cdots c_k)^{1/k}}\\
&=
\sum \limits_{k=1}^\infty a_k c_k
\sum \limits_{j=k}^\infty \frac{1}{j(c_1 c_2 \cdots c_j)^{1/j}}
\end{align*}和上面很像！