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Last edited by hbghlyj 2021-12-11 20:13如果一个多项式 \(p(x)\) 的所有根全为实数，那么\(p'(x)^2 \ge p(x) p''(x)\)
证明
设$p(x)=c \prod_{i=1}^n (x-\alpha_i),\alpha_i\in\mathbb R$.要证明的不等式就等价于\[\left[\sum\frac{p(x)}{x-\alpha_i}\right]^2 \ge p(x) \sum_i\sum_{j\neq i} \frac{p(x)}{(x-\alpha_i)(x-\alpha_j)}.\]左边-右边=$\sum\left(\frac{p(x)}{x-\alpha_i}\right)^2$可知原不等式成立.
逆命题成立吗? |
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