积分 三角函数

hbghlyj

\begin{array}l\int_{0}^{\infty} \cos (x) \frac{\sin (4 x)}{x} \mathrm dx=1.57079632679 \ldots\\
\int_{0}^{\infty} \cos (x) \cos \left(\frac{x}{2}\right) \frac{\sin (4 x)}{x}\mathrm d x=1.57079632679 \ldots\\
\int_{0}^{\infty} \cos (x) \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{3}\right) \frac{\sin (4 x)}{x}\mathrm d x=1.57079632679 \ldots\end{array}

战巡

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积化和差解决一切问题...

首先不难证明对任意$k>0$都有
\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin(kx)}{x}dx=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(kx)}{kx}d(kx)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(y)}{y}dy=\frac{\pi}{2}\]

之后
\[\frac{\cos(x)\sin(4x)}{x}=\frac{1}{2}\frac{\sin(5x)+\sin(3x)}{x}\]
\[\int_0^{+\infty}\frac{\cos(x)\sin(4x)}{x}dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{2}\frac{\sin(5x)+\sin(3x)}{x}dx=\frac{\pi}{2}\]

实际上不妨考虑更一般的情况，假设$k>0,a_1,a_2,...a_n>0$，即求
\[\int_0^{+\infty}\cos(a_1x)\cos(a_2x)...\cos(a_nx)\frac{\sin(kx)}{x}dx\]
\[\cos(a_1x)\cos(a_2x)...\cos(a_nx)\sin(kx)\]
\[=\frac{1}{2}[\sin((k+a_1)x)+\sin((k-a_1)x)]\cos(a_2x)...\cos(a_nx)\]
\[=\frac{1}{4}[\sin((k+a_1+a_2)x)+\sin((k+a_1-a_2)x)+\sin((k-a_1+a_2)x)+\sin((k-a_1-a_2)x)]\cos(a_3x)...\cos(a_nx)\]
这个一直下去，会得到
\[原式=\frac{1}{2^n}\sum\sin((k\pm a_1\pm a_2...\pm a_n)x)\]
和号里面总共$2^n$项
此时只需要保证$x$前面最小的那一项，也就是$k-a_1-a_2-...-a_n>0$，就会有整个积分为$\frac{\pi}{2}$

战巡

回复 3# hbghlyj


就是等于，不是近似

hbghlyj

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2022-3-13 11:28 上传

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Theorem: Let $a_{1}, \ldots, a_{n}, b$ be positive real numbers with $a_{1}+\ldots+a_{n}<b$. Then $\int_{0}^{\infty} \cos a_{1} x \cos a_{2} x \ldots \cos a_{n} x \frac{\sin b x}{x} d x=\frac{\pi}{2}$.

看来确实需要2#的$a_{1}+\ldots+a_{n}<k$这个条件.我之前错了