|
|
Last edited by isee at 2021-12-25 23:40:00源自知乎提问
——也是缘分，最近构造两个数列解题.
证明： $$\lim_{\color{red}{x \to \infty}}\left\{(2+\sqrt 2)^n\right\}=\underline {\ 1 \ }.$$
先解释下——也小小的科谱一下.
我们知道大名鼎鼎高斯 ( Gauss ) 函数 $y=[x]:$ (1) $[x]\in \mathbb Z;$ (2) $[x]\leqslant x< [x]+1.$ 就是说 $[x]$ 是不超过实数 $x$ 的最大整数，如 $[3.14159]=3,\ [-0.618]=-1,\ [-\sqrt 2]=-2.$
与之密切相关的函数 $y=\color{red}{\{x\}}=x-[x]$ 即 $x$ 的小数部分， $\color{red}{\{x\}\in [0,1)}.$
如 $\{3.14159\}=0.14159,\ \{-0.618\}=0.382,\ \{-\sqrt 2\}=2-\sqrt 2.$
以下构造数列证明 $$\left\{(2+\sqrt 2)^n\right\}=1-(2-\sqrt 2)^n,n\in\mathbb N_+.$$
数列 $\{a_n\}$ 满足 $$a_{n+2}=4a_{n+1}-2a_n, a_1=4,\ a_2=12.$$
由 $a_1=4, \ a_2=12$ 及递推式知 $a_n\in \mathbb N_+,$ 其特征方程为 $$x^2-4x+2=0, x_1=2+\sqrt 2,\ x_2=2-\sqrt 2,$$ 则其通项必为
$$\color{blue}{a_n=Ax_1^n+Bx_2^2},$$
代入 $a_1, a_2$ 的值得到方程组
$$\left\{\begin{aligned} A(2+\sqrt 2)+B(2-\sqrt 2)&=4,\\ A(2+\sqrt 2)^2+B(2-\sqrt 2)^2&=12 \end{aligned}\right.$$ 解得 $A=B=1,$ 于是
$$a_n=(2+\sqrt 2)^n+(2-\sqrt 2)^n\in \mathbb N_+,\ n\in \mathbb N_+.$$
从而
\begin{align*} \left\{(2+\sqrt 2)^n\right\}&=(2+\sqrt 2)^n-[(2+\sqrt 2)^n]\\[1em] &=a_n-(2-\sqrt 2)^n-[(2+\sqrt 2)^n]\\[1em] &=a_n-\bigg([(2-\sqrt 2)^n]+\{(2-\sqrt 2)^n\}\bigg)-[(2+\sqrt 2)^n]\\[1em] &=\color{olive}{a_n-[(2-\sqrt 2)^n]-[(2+\sqrt 2)^n]}-\{(2-\sqrt 2)^n\}\\[1em] &=1-\{(2-\sqrt 2)^n\}, \end{align*}
于是 $$\lim_{x \to \infty}\left\{(2+\sqrt 2)^n\right\}=\underline {\ 1 \ }.$$ |
|
