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源自知乎提问
题： $$\int_{-\pi}^\pi\frac {\sin^2x}{5+4\cos x}\mathrm dx.$$
化同名（三角函数）化为有理式积分，笨方法.
注意到
\begin{align*} \frac {\sin^2x}{5+4\cos x}&=-\frac{\cos x}{4}-\frac{9}{16 (4 \cos x+5)}+\frac 5{16} \end{align*}且为偶函数，于是
\begin{align*} \int_{-\pi}^\pi\frac {\sin^2x}{5+4\cos x}\mathrm dx &=2\int_{0}^\pi\left(\frac 5{16}+\frac{\cos x}{4}-\frac 9{16 (4 \cos x+5)}\right)\mathrm dx\\[1em] &=\frac{5\pi}8-\frac 98\int_{0}^\pi\left(\frac 1{4 \cos x+5}\right)\mathrm dx, \end{align*}
而
\begin{align*} \int\frac 1{4 \cos x+5}\mathrm dx &=\int\frac {\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2 }{4\cos^2 \frac x2-4\sin^2\frac x2+5\cos^2 \frac x2+5\sin^2\frac x2}\mathrm dx\\[1em] &=\int\frac {1+\tan^2\frac x2 }{9+\tan^2\frac x2}\mathrm dx\\[1em] \xlongequal{x=2\arctan 3u}&=\int\frac {1+9u^2 }{9+9u^2}\mathrm d(2\arctan 3u)\\[1em] &=\int\frac {1+9u^2 }{9+9u^2}\cdot \frac {6}{1+9u^2}\mathrm du\\[1em] \xlongequal{u=\frac 13\tan \frac x2} &=\frac 23\int\frac 1{1+u^2}\mathrm du\\[1em] &\left( =\frac 23\arctan \frac {\tan \frac x2}3+C, \right)\end{align*}
则
$$\int_{-\pi}^\pi\frac {\sin^2x}{5+4\cos x}\mathrm dx =\cdots=\frac {5\pi}8-\frac {3\pi}8=\frac {\pi}4.$$
PS：不过写到大半的时候——写了这么多了还是发了吧（见到时暂无回答）——才意识到拆分角为 $\frac x2$ 与万能公式同根同源，并不全符合题主所问.
而且最后求定积分中用到了极限，解得实在不咋样，请看其他答主的解法.
PSS：又遇见一道经典题：定积分 |
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