一道初中PISA题

lrh2006

图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形。王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）.现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）.此时盒子的空间利用率为_______ .

lrh2006

回复 1# lrh2006


    没有人愿意回答咩

战巡

回复 2# lrh2006

主要是这种题....没啥意思.........

令三角形三边为$x,y,z$，且$x\le y<z$，那么有
\[\begin{cases}\frac{x}{z}y+z+\frac{y}{z}x=9\\z+\frac{y}{z}y+\frac{y}{z}x=11\\x^2+y^2=z^2\end{cases}\]
得到
\[x=\sqrt{5},y=2\sqrt{5},z=5\]

总面积
\[S=z^2+\frac{xy}{2}+x^2+y^2=55\]
利用率
\[p=\frac{S}{11\cdot 9}=\frac{5}{9}\]

lrh2006

回复 3# 战巡


     嗯嗯，明白，你们不做没意思的题目，谢谢谢谢！
    式子好懂，但是这个方程组不好解，初中生解不出来哩，怎么解提示一下吧，然后我可以问问有没有别的法子吗？别打我

kuing

设 Rt△ 斜边为 c，其上的高为 h，如图，M 为斜边中点，则 `HM=\sqrt{(c/2)^2-h^2}`，故 `CF=HG=c/2+\sqrt{(c/2)^2-h^2}`，所以有方程组
\[\led
2h+c&=9,\\
h+\frac c2+\sqrt {\left( \frac c2 \right)^2-h^2}+c&=11,
\endled\]
然后就可以消元，移项平方啥的。

lrh2006

回复 5# kuing


    K形图出来了，啊啊啊我怎么没想到，谢谢咯