圆的综合问题

lrh2006

请教第（3）（4）小题，谢谢！
如图，在$R_t \triangle ABC$中，$\angle A=90^\circ$，D，P分别是AB，BC上的点，过B，D，P三点作圆，与射线CD交于点E，AC=3，BC=5，AD=1.
（1）若点E在CD的延长线上，求证：$ \triangle CDP\sim\triangle CBE$;
（2）当$\triangle BEC$为直角三角形时，求DP;
（3）当过B，D，P三点的圆与直线AC相切时，求半径r；
（4）记$\triangle BDE、\triangle DPC$的面积分别为$S_1，S_2$，若$S_1:S_2=1:3$，求BP的值

lrh2006

没有人愿意回答吗

12673zf

回复 1# lrh2006
没人回答那我来吧。
首先第三问，假设切点$F$，根据圆幂定理，$AF^2=AD\cdot AB$，所以$AF=2$

12673zf

回复 1# lrh2006
然后第四问，$CD=\sqrt{10} ,CD\cdot CE=CP\cdot CB$，假设$\frac{BP}{PC} =\frac{x}{3} $，则$\frac{S_{\triangle DPB}}{S_2} =\frac{x}{3} $，所以$\frac{DE}{DC} =\frac{1}{x+3} \Longrightarrow CE=DC\cdot \frac{x+3}{x+4} $，又$CP=CB\cdot \frac{3}{x+3} $，代入原来的圆幂定理即可，$BP=\frac{35}{13}$.
过程应该是这样，但结果不知道对不对，公式太多有点不习惯。

lrh2006

回复 4# 12673zf

太谢谢啦！不过（3）的答案是2.5，（4）对的，但是还有一个答案，$\frac{55}{17}$

12673zf

回复 5# lrh2006

示意图

不好意思，做到一半忘了这题要干嘛，接下来只需要连接$DF$，取$DF$中点$M$，容易证明$\triangle ADF \sim \triangle MFO$（利用相切90度即可），所以$\frac{DF}{AD} =\frac{OF}{MF} $，故$r=OF=\frac{DF\cdot MF}{AD} =\frac{5}{2} $

12673zf

回复 5# lrh2006
（4）的另一个答案就是点$E$在三角形内部的时候，这个时候就把上面的改成$\frac{DE}{DC} =\frac{1}{x+3} \Longrightarrow CE=DC\cdot \frac{x+2}{x+4} $，其余不变，就可以解出$x=5.5$，此时$BP=5\cdot \frac{5.5}{5.5+3} =\frac{55}{17} $

lrh2006

回复 7# 12673zf

懂了，谢谢你哦！

lrh2006

第（3）小题还有个做法：构造矩形AEOF

OF=EA=ED+AD=1.5+1=2.5
有两处笔误
4楼应该是$CE=DC\cdot \frac{x+4}{x+3}$吧
7楼应该是$CE=DC\cdot \frac{x+2}{x+3}$