ad-bc≡1 mod N⇒∃a≡a',⋯,d≡d':a'd'-b'c'=1

hbghlyj

若整数$a,b,c,d$,满足$ad-bc\equiv1\pmod N$求证存在整数$a',b',c',d'$满足$a\equiv a'\pmod N,$$b\equiv b'\pmod N,$$c\equiv c'\pmod N,$$d\equiv d'\pmod N,$$a'd'-b'c'=1$.

Czhang271828

下尝试计算所有整数组 $(a,b,c,d)\in(\mathbb Z_N)^4$ 的数量, 其中 $\mathbb Z_N=\mathbb Z/N\mathbb Z$, 商群中 $a$ 与 $a+N$ 视为等同.

考虑行列式运算, 对环 $(\mathbb Z_N,+,\cdot )$ 上的二阶矩阵 $M_n(\mathbb Z_N)$ 都有行列式导出的乘法同态
$$
\det(A\cdot B)=(\det A)\cdot (\det B).
$$
例如
$$
\left\{\begin{align*}
&a_1d_1-b_1c_1\equiv 1&\mod N\\
&a_2d_2-b_2c_2\equiv 1&\mod N
\end{align*}\right.
$$
可直接导出
$$
(a_1a_2+b_1c_2)(c_1b_2+d_1d_2)-(a_1b_2+b_1d_2)(a_2c_1+c_2d_1)\equiv 1\mod N.
$$
若 $N=q$ 为素数, 则存在(同构意义下)唯一的有限域 $\mathbb F_{q}$, $M_2(\mathbb F_{q})$ 中可逆元素构成一般线性群 $GL_2(\mathbb F_{q})$. 矩阵可逆之充要条件是各列线性无关, 从而第一列除 $(0,0)$ 外均可取. 第二列与第一列不成倍数, 故不可取者数量为 $q^2-q$. 因此,
$$
|GL_2(\mathbb F_{q})|=(q^{2}-1)\cdot (q^{2}-q).
$$
所有行列式为 $1$​ 的矩阵即行列式映射下的 kernel, 从而
$$
|SL_2(\mathbb F_{q})|=\dfrac{(q^{2}-1)\cdot (q^{2}-q)}{q-1}=q^{3}-q.
$$
综上, $N=q$ 时, 行列式为 $1$ 的矩阵数量为 $q^{3}-q$.

$N=q^k$ 时同理, 可逆矩阵第一列可取 $q^{2n}-q^{2(n-1)}$ 个值, 第二列可取相应的 $q^{2n}-q^{2(n-1)}-(q^n-q^{n-1})$ 个值, 其中 $(q^n-q^{n-1})$ 代表非 $q$​ 倍数但与第一行线性相关的项. 解得
$$
|SL_2(\mathbb F_{q^n})|=\dfrac{(q^{2n}-q^{2n-2})(q^{2n}-q^{2n-2}-(q^n-q^{n-1}))}{q-1}.
$$
对一般的 $N=\prod_{k=1}^n q_k^{i_k}$, $ad-bc\equiv 1\mod N$ 的充要条件为
$$
ad-bc\equiv 1\mod q_k^{i_k},\quad \forall k=1,\ldots, n.
$$
从而据中国剩余定理, 得
$$
|SL_2(\mathbb F_{N})|=\prod_{k=1}^n|SL_2(\mathbb F_{q_k^{i_k}})|=\prod_{k=1}^nq_k^{3i_k-3}(q_k^2-1)(q_k^{i_k}+q_k^{i_k-1}-1).
$$

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2022-1-15 13:36
若 $N=q$ 为素数, 则存在(同构意义下)唯一的有限域 $\mathbb F_{q}$, $M_2(\mathbb F_{q})$ 中可逆元素构成一般线性群 $GL_2(\mathbb F_{q})$. 矩阵可逆之充要条件是各列线性无关, 从而第一列除 $(0,0)$ 外均可取. 第二列与第一列不成倍数, 故不可取者数量为 $q^2-q$. 因此,
$$
|GL_2(\mathbb F_{q})|=(q^{2}-1)\cdot (q^{2}-q).
$$
所有行列式为 $1$​ 的矩阵即行列式映射下的 kernel, 从而
$$
|SL_2(\mathbb F_{q})|=\dfrac{(q^{2}-1)\cdot (q^{2}-q)}{q-1}=q^{3}-q.
$$
综上, $N=q$ 时, 行列式为 $1$ 的矩阵数量为 $q^{3}-q$.

相关帖子 有限域上一般线性群的阶

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2022-1-15 13:36
下尝试计算所有整数组 $(a,b,c,d)\in(\mathbb Z_N)^4$ 的数量, 其中 $\mathbb Z_N=\mathbb Z/N\mathbb Z$,  ...

我们算出数量之后如何证明1#呢