求助一个不等式

lemondian

若$x_1,x_2,...,x_n>0,且x_1+x_2+...+x_n=1,a>1$，求证：$a^{x_1}+a^{x_2}+...+a^{x_n}<n-1+a$。

kuing

勃撸力不等式一步即秒啊

lemondian

回复 2# kuing
明白了，谢谢kuing！
若将条件中的$a>1$改为$0<a<1$，后面的结论如何变化？

kuing

回复 3# lemondian

没有变化

lemondian

再问一个：
若$x_1,x_2,...,x_n>0,x_1+x_2+...+x_n=1,a>0且a\ne1$，是不是有：$a^{x_1}+a^{x_2}+...+a^{x_n}\geqslant n\sqrt[n]{a}$。
若成立，如何证明？

战巡

回复 5# lemondian

这就是均值啊....
\[\frac{a^{x_1}+...+a^{x_n}}{n}\ge \sqrt[n]{a^{x_1}\cdot...\cdot a^{x_n}}=\sqrt[n]{a}\]

kuing

lemondian

回复 6# 战巡
唉，一直想着琴生了！

kuing

回复 8# lemondian

琴生也是一步啊，a^x 必下凸，一下就完了。

lemondian

回复 9# kuing
是的，都简单，只是为何没想到用均值呢？