这个题目有没有纯几何证明（不使用三角或复数）

yao4015

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如图在 $\triangle ABC$ 中 $\angle A= 102^{o}, \angle B= 48^{o}, \angle C= 30^{o}， \angle AQD= 12^{o}$.
$\triangle ABP, \triangle CPR, \triangle ACQ$ 都是正三角形且 $QA=QD$. 证明 $R, D, B$ 三点共线.

这个题目是别人问我的。三角或复数证明都不太难，但纯几何证明，我却是怎么都想不出来。有兴趣的朋友不妨试试。

战巡

回复 1# yao4015

作正三角形$BCI$，其他连线如图

首先$\angle ACB=30\du=\frac{1}{2}\angle APB$，故此$C$在$P$为圆心，$PA$为半径的圆上，那么自然有$PC=PA=PB$，接下来易证$\Delta ABC\cong\Delta CRB$，于是$\angle CBR=30\du$
这里面同时会很容易得到$\angle PBC=\angle PCB=12\du$，也就有$\angle ACP=\angle ACB+\angle PCB=42\du$，这个等会有用

那么要证明三点共线，只需要证明$\angle DBC=30\du$即可

作完这个正三角形$BCI$之后，很显然$AC$平分$\angle ICB$，有$AI=AB$，而又容易证明$\Delta ABC\cong\Delta CQI$，于是有$QI=AI=AB=PA=PC$，再加上$QA=AC$，就有$\Delta QIA\cong\Delta APC$，然后$\angle IQA=\angle IAQ=\angle ACP=42\du$
易求$\angle QAD=84\du$，于是$\angle IAD=\angle IAQ+\angle QAD=42\du+84\du=126\du$，而同时$\angle IQD=\angle IAQ+\angle AQD=42\du+12\du=54\du$，于是正好有$\angle IAD+\angle IQD=180\du$，说明$I,Q,D,A$共圆

接下来就会有$\angle AID=\angle AQD=12\du$，而显然$\angle CIA=\angle CBA=48\du$，说明$\angle CID=\angle CIA-\angle AID=36\du$
另一方面由于$QA=QD=QC$，有$\angle ACD=\frac{1}{2}\angle AQD=6\du$，加上$\angle ICA=\angle BCA=30\du$，得到$\angle ICD=36\du=\angle CID$，说明$ID=CD$
这就有$BD$平分$\angle IBC$了，说明$\angle CBD=\angle IBD=30\du$

于是证出来了