求$\lim_{x \to 0}\frac {ax-\sin x}{\int_b^x\frac {\ln (1+t^3)}t\rm dt}$

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题：求非负实数 $a,b$ 的值，使 $\lim_{x \to 0}\frac {ax-\sin x}{\int_b^x\frac {\ln (1+t^3)}{t}\mathrm dt}=\frac 12.$

注意到是 $\frac 00$ 型未定式极限处理，分母中被积函数 $\color{red}{\frac {\ln (1+t^3)}{t}>0},$ 依题必有

$\lim_{x \to 0}\int_b^x\frac {\ln (1+t^3)}{t}\mathrm dt=0,$ 于是 $b=0.$

从而

\begin{align*} \lim_{x \to 0}\frac {ax-\sin x}{\int_0^x\frac {\ln (1+t^3)}{t}\mathrm dt} &=\lim_{x \to 0}\frac {a-\cos x}{\frac {\ln (1+x^3)}{x}}\\[1em] &=\color{red}{\lim_{x \to 0}\frac {a-\cos x}{x^2}}\\[1em] &=\frac 12\ne 0 \end{align*}

于是 $a=1.$

精简版：只需要看红字——先一洛必达法则，后一等价无穷小.

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变限积分+定积分性质



题： $\lim_{x\to 0^+}\frac {\int_0^x\sqrt {x-t}{~}\mathrm e^t \mathrm dt}{\sqrt {x^3}}.$


依 $\int_a^b f(x)\mathrm dx=\int_a^b f(a+b-x)\mathrm dx$ 有

\begin{align*} \lim_{x\to 0^+}\frac {\int_0^x\sqrt {x-t}{~}\mathrm e^t\mathrm dt}{\sqrt {x^3}} &=\lim_{x\to 0^+}\frac {\int_0^x\sqrt {x-(0+x-t)}{~}\mathrm e^{0+x-t}\mathrm dt}{\sqrt {x^3}}\\[1em] &=\lim_{x\to 0^+}\frac {\mathrm e^x\int_0^x\sqrt {t}{~}\mathrm e^{-t}\mathrm dt}{\sqrt {x^3}}\\[1em] &=\lim_{x\to 0^+}\mathrm e^x\cdot \lim_{x\to 0^+}\frac {\int_0^x\sqrt {t}{~}\mathrm e^{-t}\mathrm dt}{x^{\frac 32}}\\[1em] \xlongequal{\text{L'Hospital}}&=1\cdot \lim_{x\to 0^+}\frac {\sqrt {x}{~}\mathrm e^{-x}}{3/2\cdot \sqrt x}\\[1em] &=\frac 23. \end{align*}