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源自知乎提问
双曲函数性质与介绍 PDF 下载
按 $\int_0^1\frac {x^2}{x+\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx$ 处理.
\begin{align*} \int_0^1\frac {x^2}{x+\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx &=\int_0^1\frac {x^2\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}{\left(\sqrt{1+x^2}-x\right) \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)}\mathrm dx\\[1em] &=\int_0^1x^2\sqrt{1+x^2}\mathrm dx+\int_0^1x^3\mathrm dx \end{align*}
先解决 $\int_0^1x^2\sqrt{1+x^2}\mathrm dx,$ 尝试双曲函数换元.
\begin{align*} \int x^2\sqrt{1+x^2}\mathrm dx \xlongequal{x=\sinh t}&=\int \sinh^2 t\cosh t\cdot \cosh t\ \mathrm dt\\[1em] &=\frac 14\int \sinh^2 2t\ \mathrm dt\\[1em] &=\frac 14\int \frac {\cosh 4t-1}2\ \mathrm dt\\[1em] &=\frac 18\int \cosh 4t\ \mathrm dt-\frac 18\int \ \mathrm dt\\[1em] &=\frac 1{32}\sinh 4t-\frac 18t\\[1em] &=\frac 18\sinh t\cosh t\cosh 2t-\frac 18t\\[1em] &=\frac 18x\sqrt{1+x^2}(1+2x^2)-\frac 18\text{arcsinh} \ x \end{align*}
于是原定积分
\begin{align*} \int_0^1\frac {x^2}{x+\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx &=\frac {3\sqrt 2}8-\frac 18\text{arcsinh}\ 1+\frac 14. \end{align*}
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用到的核心公式： $$\int\sinh x\mathrm dx=\cosh x+C, \ \int\cosh x\mathrm dx=\sinh x+C.$$
$$1+\sinh^2x=\cosh^2 x,\ \sinh2x=2\sinh x\cosh x,\ \cosh 2x=1+2\sinh^2x.$$
简单介绍下“主角”——双曲函数，先
双曲正弦函数： $y=\color{blue}{\sinh x}=\frac {\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2, \ x,y\in \mathrm R,$ 奇函数，单调递增.
双曲余弦函数： $y=\color{blue}{\cosh x}=\frac {\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2, \ x\in \mathrm R,\ y\in [1,+\infty),$ 偶函数，先减后增.
双曲正切函数： $y=\color{blue}{\tanh x}=\frac {\sinh x}{\cosh x}=\frac {\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}{\mathrm e^{x}+\mathrm e^{-x}}, \ x\in \mathrm R,\ y\in (-1,+1),$ 奇函数，单调递增.
不难验证有性质
$\color{olive}{\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\iff 1+\sinh^2 x=\cosh^2 x},$
$\color{olive}{\sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\ }\sinh (\mathrm{arsinh} \ x)=x$
$\color{olive}{\cosh 2x=\cosh^2 x+\sinh^2 x}=2\cosh^2x -1=1+2\sinh^2x ,$
$(\sinh x)'=\cosh x \iff \int \cosh x\mathrm dx=\sinh x +C,$
$(\cosh x)'=\sinh x \iff \int \sinh x\mathrm dx=\cosh x +C.$
易知双曲函数的反函数
反双曲正弦函数： $y=\color{blue}{\mathrm {arsinh}\ x}=\ln \left(x+\sqrt {x^2+1}\right)), \ x,y\in \mathrm R,$ 奇函数，单调递增.
反双曲余弦函数： $y=\color{blue}{\mathrm {arcosh}\ x}=\ln \left(x+\sqrt {x^2-1}\right), \ x\in [1,+\infty),\ y\in [0,+\infty),$ 单调递增.
反双曲正切函数： $y=\color{blue}{\mathrm {artanh}\ x}=\frac 12\ln \frac {1+x}{1-x}, \ x\in (-1,+1),\ y\in \mathrm R,$ 单调递增.
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（积分表公式练习）回到正题
$$\color{blue}{\begin{align*} \int\sqrt {1+x^2}\mathrm dx& \xlongequal{x=\sinh t}\int\cosh t\mathrm d\sinh t\\[1em] &=\int\cosh^2 t\mathrm dt\\[1em] &=\int\frac {1+\cosh 2t}2\mathrm dt\\[1em] &=\frac t2+\frac {\sinh 2t}4+C\\[1em] &=\frac t2+\frac {\sinh t\cosh t}2+C\\[1em] & \xlongequal{t=\mathrm{arsinh} \ x}\frac {\mathrm{arsinh} \ x}2+\frac {\sinh {(\mathrm{arsinh}\ x)\cosh (\mathrm{arsinh}\ x)}}2+C\\[1em] &=\frac 12\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\frac {x\sqrt {1+x^2}}2+C. \end{align*}}$$
(注 $\cosh^2 (\mathrm{arsinh}\ x)-\sinh^2 (\mathrm{arsinh}\ x)=1,$ 于是
$\cosh(\mathrm{arsinh}\ x)=\sqrt{1+\sinh^2 (\mathrm{arsinh}\ x)}=\sqrt {1+x^2}.$ ) |
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