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源自知乎提问
题：若 $\sin\alpha-\cos \beta=3\cos\alpha-3\sin\beta,$ 且 $\sin(\alpha+\beta)\ne 1,$ 则 $\sin(\alpha-\beta)=$ _______.
改为小题了，即不需要过程版.
令 $\alpha=-\beta=x,$ 于是条件化为 $\tan x=-2,$ 所求为 $\sin 2x=\frac {2\cdot (-2)}{1+4}=-\frac 45.$
怎么肯定是对的？特殊方法，不对怎么办？得认.
还是简单的写个严谨过程吧.
\begin{gather*} \sin\alpha-\cos \beta=3\cos\alpha-3\sin\beta\\[1em] \sin\alpha+\sin\left(\beta-\frac {\pi}2\right) =3\sin\left(\frac {\pi}2-\alpha\right)-3\sin\beta\\[1em] 2\sin\left(\frac {\alpha+\beta}2-\frac {\pi}4\right)\cos \left(\frac {\alpha-\beta}2+\frac {\pi}4\right)=6\cos \left(\frac {\pi}4-\frac {\alpha-\beta}2\right)\sin\left(\frac {\pi}4-\frac {\alpha+\beta}2\right)\\[1em] \cos \left(\frac {\alpha-\beta}2+\frac {\pi}4\right)=-3\cos \left(\frac {\pi}4-\frac {\alpha-\beta}2\right)\\[1em] \tan \left(\frac {\alpha-\beta}2+\frac {\pi}4\right)=-\frac 13\\[1em] \tan \frac {\alpha-\beta}2=-2\\[1em] \Rightarrow \ \sin(\alpha-\beta)=-\frac 45. \end{gather*}
三角和差化积公式
\begin{gather*}\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2,\\[1em] \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2,\\[1em] \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2,\\[1em] \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2,\end{gather*}
PS：记忆口诀：正和正在前，正差正后迁；余和余相见，余差翻了天.
解释，如“正差正后迁”，第二个公式，正弦的差，右边正弦在后；再如“余和余相见”第三个公式，余弦的和，右边全是余弦，基此联想一，四公式. |
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