好数问题

大佬最帅

Czhang271828

该层解答有bug, 原因是只考虑了判断好数的充分性条件, 并未证明考虑必要性. 最后一步之所以有误是因为我默认了充要性, 好数和对半开好数自然一一对应, 但该种对应关系不能通过映射 $\phi$ 保留, 特此说明.

不过对于一般的首一二次三项式 $x^2-bxy+cy^2$ 而言, 但凡 $\mathbb Q[\sqrt{\Delta}]$ 还是个域, 好数确实可以在乘除运算下封闭. 对于一般情形, 判断似乎不易, 以后再挖挖看.

容易证明, $0$ 不是好数. 再注意到
$$\left(\sqrt 3x-\dfrac{4+i\sqrt 2}{\sqrt 3}y\right)\cdot\left(\sqrt 3x-\dfrac{4-i\sqrt 2}{\sqrt 3}y\right)=3x^3-8xy+6y^2$$
从而 $3x^2-8xy+6y^2$ 与 $\left(\sqrt 3x-\dfrac{4+i\sqrt 2}{\sqrt 3}y\right)$ 存在一一对应关系, 即双射
$$
\phi:\{\text{好数}\}\to\{\text{对半开的好数}\},z\mapsto z\overline z
$$
同时 $\phi(zw)=\phi(w)\phi(z)$ 成立. 从而 "好数之积/商为好数" 等价于 "对半开的好数之积/商为对半开的好数", 现在证伪之即可.

显然 $\sqrt 3$ 与 $\dfrac{4+i\sqrt 2}{\sqrt 3}$ 之积不再是对半开好数, 因此 $3\cdot 6 =18$ 不是好数.

大佬最帅

回复 2# Czhang271828
考虑x＝-2，y＝-3，因此18为好数

战巡

回复 1# 大佬最帅


令$x=p-2q, y=p-q$，可以得到
\[m=3(p-2q)^2-8(p-2q)(p-q)+6(p-q)^2=p^2+2q^2\]
这里显然$p,q,x,y$都是有理数，而且$(p,q),(x,y)$是一一对应的

如果假设$m,n$两个好数，分别有$m=p^2+2q^2,n=r^2+2s^2$，则会有
\[mn=(p^2+2q^2)(r^2+2s^2)\]
\[=p^2r^2+2q^2r^2+2p^2s^2+4q^2s^2\]
\[=(pr-2qs)^2+2(qr+ps)^2\]
故此两个好数的积仍然是好数

另一方面
如果假设$m=p^2+2q^2, \frac{1}{m}=r^2+2s^2$，则会有
\[m\cdot\frac{1}{m}=(pr-2qs)^2+2(qr+ps)^2=1\]
这里令$pr-2qs=1,qr+ps=0$，则有
\[r=\frac{p}{p^2+2q^2}, s=-\frac{q}{p^2+2q^2}\]
这就说明$r,s$也都是有理数
也就是说，如果$m$是好数，则$\frac{1}{m}$也是好数
那么自然就可以证明，假设$m,n$是好数，则$\frac{1}{n}$也是好数，然后$m\cdot\frac{1}{n}=\frac{m}{n}$也是好数