卡塔兰数 行列式

hbghlyj

无论n的取值为多少，n×n的汉克尔矩阵:$A_{i,j}=C_{i+j-2}$的行列式为1。例如，$n = 4$ 时我们有$$\det {\begin{bmatrix}1&1&2&5\\1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\end{bmatrix}}=1$$进一步，无论$n$的取值为多少，如果矩阵被移动成$A_{i,j}=C_{i+j-1}$，它的行列式仍然为1。例如，$n = 4$ 时我们有$$\det {\begin{bmatrix}1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\\14&42&132&429\end{bmatrix}}=1$$

isee

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有点意思~

Czhang271828

注意到 $C_n=\sum_{k}C_{k-1}C_{n-k}$, 采用 Cholesky 分解 ($A=R^TR$) 可得两个主对角线为 $1$ 的三角矩阵.