若$\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\sin^4(\alpha+\beta)$,求$\alpha+\beta$

Tesla35

$\alpha,\beta$是锐角,若$\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\sin^4(\alpha+\beta)$,求$\alpha+\beta$的取值范围.

kuing

分解易得 `\cos(a+b)\bigl( 4\cos(a-b)+5\cos(a+b)-\cos(3a+3b) \bigr)=0`，所以 `a+b=\pi/2` 或 `\cos(3a+3b)-5\cos(a+b)=4\cos(a-b)`，而 `0<\cos(a-b)\leqslant1`，记 `x=a+b`，即 `\cos3x-5\cos x>0` 且 `\cos3x-5\cos x\leqslant4`，前者易得 `x>\pi/2`，后者分解得 `4(\cos x+1)(\cos^2x-\cos x-1)\leqslant0`，后面不想写了……

Tesla35

回复 2# kuing

彳亍。
为感谢kuing
等我有空去广州
一定不带你去piao

kuing

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Tesla35

回复 2# kuing

补充细节：
$\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+1$.

$\sin^4(\alpha+\beta)=(1-\cos^2(\alpha+\beta))^2=1-2\cos^2(\alpha+\beta)+\cos^4(\alpha+\beta)$

所以
$\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=-2\cos^2(\alpha+\beta)+\cos^4(\alpha+\beta)$.

分解得

$\cos(\alpha+\beta)[\cos(\alpha-\beta)+2\cos(\alpha+\beta)-\cos^3(\alpha+\beta)]=0$

Tesla35

还有一个疑问。这题和另一帖子的题。如何保证区间内的实数都可取到？

kuing

回复 6# Tesla35

首先交待取等（或趋向），再由函数连续性