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Last edited by hbghlyj 2022-2-4 07:15求所有的正整数 ，使得关于$x$的方程
$x^{2}-3 a x+2 b=0 ;$
$x^{2}-3 b x+2 c=0 ;$
$x^{2}-3 c x+2 a=0$
的所有根为正整数. |
不妨设三个方程的根依次为$x_{1}, x_{2} ; x_{3}, x_{4} ; x_{5}, x_{6}$,由韦达定理,\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=3 a, x_{1} x_{2}=2 b \\ x_{3}+x_{4}=3 b, x_{3} x_{4}=2 c \\ x_{5}+x_{6}=3 c, x_{5} x_{6}=2 a\end{array}则容易得到$$\frac{2}{3}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}\right)=x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}+x_{5} x_{6}(=2 a+2 b+2 c)\tag{*}$$下面分解因式：利用$\left(x_{i}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{j}-\frac{2}{3}\right)=x_{i} x_{j}-\frac{2}{3}\left(x_{i}+x_{j}\right)+\frac{4}{9}$,(*)可整理得$$\left(x_{1}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(x_{3}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{4}-\frac{2}{3}\right)+\left(x_{5}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{6}-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9} \times 3=\frac{4}{3}$$\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=3 a \geq 3 \\ x_{3}+x_{4}=3 b \geq 3 \\ x_{5}+x_{6}=3 c \geq 3\end{array}其中$x_{1}, x_{2} ; x_{3}, x_{4} ; x_{5}, x_{6}$都是正整数，
因此同一组方程的根一定是一个不小于 1，一个不小于 2.
从而$\left(x_{1}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{2}-\frac{2}{3}\right) \geq\left(1-\frac{2}{3}\right)\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$
同理$\left(x_{3}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{4}-\frac{2}{3}\right) \geq \frac{4}{9};\left(x_{5}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{6}-\frac{2}{3}\right) \geq \frac{4}{9}$
从而$\left(x_{1}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(x_{3}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{4}-\frac{2}{3}\right)+\left(x_{5}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{6}-\frac{2}{3}\right) \geq \frac{4}{9} \times 3=\frac{4}{3}$
对比 ，我们只能要求$\left(x_{1}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{2}-\frac{2}{3}\right)=\left(x_{3}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{4}-\frac{2}{3}\right)=\left(x_{5}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{6}-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$
这就意味着三个方程的两根只能是 1 和 2.
否则，以$\left(x_{1}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{2}-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$为例；
因为已经证明一个不小于 1，一个不小于 2；现在有一个不等于 1，或者一个不等于 2 ；不妨设$x_{1}>1$或者$x_{2}>2$都有$\left(x_{1}-\frac{2}{3}\right)\left(x_{2}-\frac{2}{3}\right)>\frac{1}{3} \times \frac{4}{3}=\frac{4}{9}$.
那么将两根 1 和 2 回代：\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=3 a, x_{1} x_{2}=2 b \\ x_{3}+x_{4}=3 b, x_{3} x_{4}=2 c \\ x_{5}+x_{6}=3 c, x_{5} x_{6}=2 a\end{array}得到：$a=b=c=1$ |
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