holder 不等式 $\frac {a^3}{2b+a}+\frac {b^3}{2a+b}\geqslant \frac 23.$

isee

源自知乎提问



题：正实数 $a,b$ 满足 $ab=1,$ 求证： $\frac {a^3}{2b+a}+\frac {b^3}{2a+b}\geqslant \frac 23.$

主要是对赫尔德 $({~}\rm{h\ddot {o} lder}{~})$ 不等式解法的一个补充：


\begin{gather*} (1+1)^{\color{blue}1}\big((2b+a)+(2a+b)\big)^{\color{red}1}\left(\frac {a^3}{2b+a}+\frac {b^3}{2a+b}\right)^{\color{purple}1}\\[1em] \geqslant \left(\sqrt[\color{blue}1+\color{red}1+\color{purple}1]{1\cdot (2b+a)\cdot \frac {a^3}{2b+a}}+\sqrt[\color{blue}1+\color{red}1+\color{purple}1]{1\cdot (2a+b)\cdot \frac {b^3}{2a+b}}\right)^{\color{blue}1+\color{red}1+\color{purple}1}\\[1em] =\left(\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{b^3}\right)^{3}\\[1em] =\left(a+b\right)^{3},\\[1em] \Rightarrow {~}\frac {a^3}{2b+a}+\frac {b^3}{2a+b}\geqslant \frac{(a+b)^3}{6(a+b)}\\[1em] =\frac{(a+b)^2}{6}\\[1em] \geqslant \frac{(2\sqrt {ab})^2}{6}\\[1em] =\frac 23. \end{gather*}

第一个不等式取"="时， $\frac 11=\frac {2b+a}{2a+b}=\frac {\frac {b^3}{2a+b}}{\frac {a^3}{2b+a}},$ 即 $a=b=1,$ 亦满足第二个不等式取“=”.

熟了之后就是 舒弥六月 的回答.

(由赫尔德不等式可以推出权方和不等式，) $\color{blue}{\text{一行}}$即证 by Alterit 的回答.

一些复杂的分式结构的不等式都可以尝试一下赫尔德不等式（或权方和不等式).

下面简证下3组2个正实数 $(a_1,b_1),{~} (a_2,b_2),{~} (a_3,b_3)$ 的最简单形式的赫尔德不等式. 亦是对赫尔德不等式有一个初步的印象，入门，简单的应用.

对任意正实数有 $(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)\geqslant \left(\sqrt [3]{a_1a_2a_3}+\sqrt [3]{b_1b_2b_3}\right)^3,$ 当且仅当 $\frac {a_1}{a_2}=\frac {a_2}{b_2}=\frac {a_3}{b_3}$ 取等.

证：由均值不等式有

$$\frac {a_1}{a_1+b_1}+\frac {a_2}{a_2+b_2}+\frac {a_3}{a_3+b_3}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac {a_1a_2a_3}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)}},$$

$$\frac {b_1}{a_1+b_1}+\frac {b_2}{a_2+b_2}+\frac {b_3}{a_3+b_3}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac {b_1b_2b_3}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)}},$$

两式相加，整得即证.

赫尔德 $({~}\rm{h\ddot {o} lder}{~})$ 不等式(以3组2个为例 $(a_1,b_1),{~} (a_2,b_2),{~} (a_3,b_3)$ )，对任意正实数 $a_i,b_i,p_i,{~} i=1,2,3$ 有

$$\color{blue}{(a_1+b_1)^{p_1}(a_2+b_2)^{p_2}(a_3+b_3)^{p_3}\geqslant \left(\sqrt[P]{a_1^{p_1}a_2^{p_2}a_2^{p_3}}+\sqrt[P]{b_1^{p_1}b_2^{p_2}b_3^{p_3}}\right)^{P}},$$

其中 $P=p_1+p_2+p_3,$ 当且仅当 $\frac {a_1}{a_2}=\frac {a_2}{b_2}=\frac {a_3}{b_3}$ 取等.

isee

这个入门完全是跟着 kuing 被动学的，感谢

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Alterit 用的是广义的权方和不等式，对任意$a_i,b_i>0,p\geqslant q+1,p,q>0$
\[\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac {a_i^p}{b_i^q}\geqslant n^{\color{red}{q-p+1}}\frac {\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i\right)^p}{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i\right)^q}.\]

其妙

回复 1# isee
我加强一下：
已知$a,b$为正实数，求证：\[\frac{{{a^3}}}{{2b + a}} + \frac{{{b^3}}}{{2a + b}}\geq\frac{{{a^2} + {b^2}}}{3}\]

isee

回复 3# 其妙

把ab=1去掉了？