求三角形周长

业余的业余

Given $\triangle ABC$ and a point $P$ on one of its sides, call line $\ell$ the splitting line of $\triangle ABC$ through $P$ if $\ell$ passes through $P$ and divides $\triangle ABC$ into two polygons of equal perimeter. Let $\triangle ABC$ be a triangle where $BC=219$ and $AB$ and $AC$ are positive integers. Let $M$ and $N$ be the midpoint of $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$, repectively, and suppose that the splitting lines of $\triangle ABC$ through $M$ and $N$ intersect at $30^\circ$. Find the perimeter of $\triangle ABC$.

如果过三角形 $\triangle ABC$ 一条边上点 $P$ 的直线 $\ell$ 把该三角形分成两个等周长的多边形，那么我们称该直线为该三角形过 $P$ 的分割线。

$\triangle ABC$ 中 $BC=219$, $AB，AC$为正整数。$M,N$ 分别是 $AB,AC$ 的中点，且$\triangle ABC$ 过 $M,N$ 的分割线成 $30^\circ$ 的夹角。求 $\triangle ABC$ 的周长。

Tesla35

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这是什么竞赛吗？

业余的业余

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AIME 2022 A

业余的业余

AIME 是一种标准化填空考试，每题的答案是一个 000-999 的整数。

不知到这个信息是否有助于在考试时用试错法蒙出一个答案。虽然没有证明，但我直觉过 $M$ 和 $N$ 的分割线交的三角形的另一边都应该是 $BC$ ，而非 $AB$ 或 $AC$.

沿这条路不知道能不能用启发的方式快速猜出一个解。这个题型的设计就只能有唯一解。

而用几何或解析的方法得出完整的解，那个难度好像蛮大。

PS: 当 ABC 为等边三角形时，显然有两分割线成 $120^\circ$, 然后维持等腰三角形不变(BC为底), 不管腰增减，两分割线夹角都趋于 $180^\circ$. 我在纸上试了一下，还真不知道往哪个方向边会使分割线的夹角逐渐往 $30^\circ$ 减少。元芳怎么看？

业余的业余

还没看这个证明，相信不会有问题。

hbghlyj

业余的业余 发表于 2022-2-10 23:20
还没看这个证明，相信不会有问题。

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