三角恒等式

lemondian

下面三角恒等式，有什么证法？
$cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=4sin^2\frac{A}{2}sin^2\frac{B}{2}sin^2\frac{C}{2}+4cos^2\frac{A}{2}cos^2\frac{B}{2}cos^2\frac{C}{2}-1$

Tesla35

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已知恒等式
$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$;

$\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$;

$(\sin A+\sin B+\sin C)^2+(\cos A+\cos B+\cos C-1)^2=16(\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2})^2+16(\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2})^2$.

上式左边
$=4+2(\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A+\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A-\cos A-\cos B-\cos C)$

又因为
$-\cos A=\cos(B+C)=\cos B\cos C-\sin A\sin B$,

$-\cos B=\cos(C+A)=\cos C\cos A-\sin C\sin A$,

$-\cos C=\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$.
代入上式得
$4+4(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A)
=16(\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2})^2+16(\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2})^2$

原式得证.

kuing

下面三角恒等式，有什么证法？
$cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=4sin^2\frac{A}{2}sin^2\frac{B}{2}sin^2\frac{C}{2}+4cos^2\frac{A}{2}cos^2\frac{B}{2}cos^2\frac{C}{2}-1$
lemondian 发表于 2022-2-11 13:22

左`=c^2o^2s^2(AB+BC+CA)`
右`=(s^3i^3n^6+c^3o^3s^6)\frac{ABC}2-1`
左`\ne`右

isee

回复 3# kuing

你是说需要$A+B+C=\pi$,特斯拉35 过程才成立？

===
bug ID 中的35 不能分开吧？

kuing

回复 4# isee

我是说$cos\ne\cos$

isee

回复 5# kuing

这真的是真的