圆锥曲线选择题

武松

不直接套二级结论，请问这个题有没有较为简单的算法
已知$F_1, F_2分别为椭圆E:\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左，右焦点$，E上存在两点A,B使得梯形$AF_1F_2B 的高为\sqrt{2}c,且\vv{AF_1}=3\vv{BF_2}$,则E的离心率为( )

kuing

中文尽量不放入 \$ ... \$ 内；主题分类选一下。

由梯形的高为 `\sqrt2c` 可知其底边与 `x` 轴夹角为 `45\du`，不妨设斜率为 `1`，则由 `\vv{AF_1}=3\vv{BF_2}` 可设 `A(-c+3t,3t)`, `B(c+t,t)`，则 `|BF_2|=\sqrt2t`，由焦半径公式，有 `|AF_1|=a+e(-c+3t)`, `|BF_2|=a-e(c+t)`，所以
\[a+e(-c+3t)=3a-3e(c+t)=3\sqrt2t,\]
消 `t` 即得 `e=\sqrt2/2`。

kuing

不直接套二级结论，请问这个题有没有较为简单的算法
已知$F_1, F_2分别为椭圆E:\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2 ...
武松 发表于 2022-2-12 15:20

套二级结论的话怎么算呢？

武松

$AF_1=\frac{b^2}{a-c\cos \theta }=3BF_2=\frac{b^2}{a+c\cos \theta }$