求证：一个三角函数的值域

lemondian

命题：函数$f(x)=Asin^rxcos^sx$（$A$为大于零的常数，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$r,s$为正有理数）的值域为$[0,A\sqrt{\dfrac{r^rs^s}{(r+s)^{r+s}}}]$。
（1）请问这个结论如何证明？
（2）上述命题能否将指数$r,s$推广为正实数？若能，如何证明？

战巡

回复 1# lemondian

\[f'(x)=A\cos^{s-1}(x)\sin^{r-1}(x)(r\cos^2(x)-s\sin^2(x))=0\]
这里面总共3个解，显然$x=0,\frac{\pi}{2}$都是解，但都是极小值，中间的一个有
\[r\cos^2(x)=s\sin^2(x)\]
可得
\[x=\arctan(\sqrt{\frac{r}{s}})\]
也很容易证明这个是极大值

这里面
\[\sin(\arctan(\sqrt{\frac{r}{s}}))=\sqrt{\frac{r}{r+s}}\]
\[\cos(\arctan(\sqrt{\frac{r}{s}}))=\sqrt{\frac{s}{r+s}}\]
因此
\[f(x)\le f(\arctan(\sqrt{\frac{r}{s}}))=A\left(\sqrt{\frac{r}{r+s}}\right)^r\left(\sqrt{\frac{s}{r+s}}\right)^s=A\sqrt{\frac{r^rs^s}{(r+s)^{r+s}}}\]

色k

唉，永远都要把三角函数给扶正

`Asin^rxcos^sx\ne A\sin^rx\cos^sx`

令 `a=\sin^2x`, `b=\cos^2x`, `a`, `b\geqslant0`, `a+b=1`，则
\begin{align*}
f(x)&=A\sin^rx\cos^sx,\\
\frac{f(x)^2}{A^2}&=a^rb^s,\\
\frac{f(x)^2}{A^2r^rs^s}&=\left( \frac ar \right)^r\left( \frac bs \right)^s,\\
\left( \frac{f(x)^2}{A^2r^rs^s} \right)^{1/(r+s)}&=\left( \frac ar \right)^{r/(r+s)}\left( \frac bs \right)^{s/(r+s)}\leqslant\frac r{r+s}\cdot\frac ar+\frac s{r+s}\cdot\frac bs=\frac1{r+s},\\
f(x)^2&\leqslant\frac{A^2r^rs^s}{(r+s)^{r+s}},
\end{align*}
当 `a/r=b/s` 取等。

lemondian

谢谢谢两位：

这个命题的原来是这样的：
函数$f(x)=A\sin^rx\cos^sx$（$A$为大于零的常数，$r,s$为正有理数）的值域为$[-A\sqrt{\dfrac{r^rs^s}{(r+s)^{r+s}}},A\sqrt{\dfrac{r^rs^s}{(r+s)^{r+s}}}]$。

1.我认为不对，例如：当$r=\frac{1}{2},x=-\frac{\pi}{2}$时，原函数无意义，所以将其改为1#的命题。
2.2#中“显然$x=0,\frac{\pi}{2}$都是解，但都是极小值”，这句话应该不对，因为$0,\frac{\pi}{2}$是区间端点，应该改为：函数在$x=0,\frac{\pi}{2}$处取得最小值。
3.@色k,不好意思，我老不记得三角函数如何写才对！
4.3#中倒数第二行的不等式没看懂哩，麻烦提点一下。
5.另外，两位的证法是否已说明1#的命题其指数$r,s$可为正实数了？

色k

回复 4# lemondian

4. 我用的是加权均值不等式，曾在你的某帖里也介绍过。
5. 显然是。

战巡

回复 4# lemondian

不，那两个的确是极小值点，不信你可以随便带$s,r$画图看看，导数是为零的

是不是端点反而不那么重要

lemondian

问题1.已知函数$f(x)=\sin^rx\sin^s2x$($r,s$正实数,$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$)，求$f(x)$的值域.
显然，这个问题可转化为1#的问题再处理。

问题2.已知函数$f(x)=\cos^rx\cos^s2x$($r,s$正实数,$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$)，求$f(x)$的值域.
问题2如求解？（$x$范围对吗？）

kuing

回复 7# lemondian

2. `x` 范围当然不对了，`\cos2x` 会有负数了。

战巡

回复 7# lemondian


其实也可以，规定$s$为整数就行了

方法也还是老一套，直接求导完事，有
\[f'(x)=-\cos^{r-1}(x)\cos^{s-1}(2x)\sin(x)(4s\cos^2(x)+r\cos(2x))\]
这个如果硬解，会得到$x=0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}$这些零点，还有一个在
\[4s\cos^2(x)+r\cos(2x)=0\]
也就是
\[x=\frac{1}{2}\arccos(-\frac{2s}{r+2s})\]
然后
\[f(0)=1,f(\frac{\pi}{4})=f(\frac{\pi}{2})=0\]
以及
\[f(\frac{1}{2}\arccos(-\frac{2s}{r+2s}))=\left(-\frac{2s}{r+2s}\right)^s\sqrt{\left(\frac{r}{2r+4s}\right)^r}\]
这里面两块里面都是小于$1$的，整体不可能超过$1$，所以最大值仍然在$f(0)=1$取到

至于最小值，得看$s$啥情况，如果$s$为奇数，那么$\left(-\frac{2s}{r+2s}\right)^s\sqrt{\left(\frac{r}{2r+4s}\right)^r}<0$，这个就是最小值
如果$s$为偶数，它只是个普通的极大值而已，最小值在$f(\frac{\pi}{4})=f(\frac{\pi}{2})=0$取到