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源自知乎提问
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权方和不等的应用
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题：对任意正实数 $x,y$ ，则 $\frac {3\sqrt 3}x+\frac 2y+\sqrt{4x^2+y^2}$ 的最小值为________.
也可以权方和不等式+均值不等式
\begin{align*} \frac {3\sqrt 3}x+\frac 2y+\sqrt{4x^2+y^2} &=2\left(\frac {3\sqrt 3}{2x}+\frac 1y\right)+\sqrt{4x^2+y^2}\\[1em] &=2\left(\frac {3^{\frac 32}}{(4x^2)^{\frac 12}}+\frac {1^{\frac 32}}{(y^2)^{\frac 12}}\right)+\sqrt{4x^2+y^2}\\[1em] &\geqslant 2\cdot \frac {(3+1)^{\frac 32}}{(4x^2+y^2)^{\frac 12}}+\sqrt{4x^2+y^2}\\[1em] &=\frac {16}{\sqrt{4x^2+y^2}}+\sqrt{4x^2+y^2}\\[1em] &\geqslant 2\cdot\sqrt {16}\\[1em] &=8. \end{align*}
两不等号同时成立时 $\frac 3{4x^2}=\frac 1{y^2},$ $\frac {16}{\sqrt{4x^2+y^2}}=\sqrt{4x^2+y^2},$ 即 $x=\sqrt 3,{~}y=2.$ |
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