求一个9位数使得左边 $m$ 位数都是 $m$ 的倍数

isee

源自知乎提问



题：求一个 9 位数 $M,$ 使得 $M$ 的数码两两不同且都为零，并对 $m=2,3,\cdots,9,$ 数 $M$ 的左边 $m$ 位数都是 $m$ 的倍数.

======================================================

题目有点意思，只是这个硬讨论写起来真是麻烦~







注：省时间版：太长，硬讨论的，没技术含量，方法不佳.


审完题后就发现其实是用数字 $1,2,\cdots,9$ 组合成一个 $9$ 位数 $M.$

令 $M=\overline{a_1a_2\cdots a_9},$ 则 $(a_1,a_2,\cdots,a_9)$ 是数字 $1,2,\cdots,9$ 任一个排列.

依题知

\begin{align*} 2&\mid \overline{a_1a_2}\iff   a_2 =2,\xcancel{4},6,8\\[1em] 3&\mid \overline{a_1a_2a_3}\\[1em] 4&\mid \overline{a_1a_2a_3a_4}\iff 4\mid \overline{a_3a_4}\iff a_4=2,\xcancel{4},6,8\\[1em] 5&\mid \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\iff a_5=5\\[1em] 6&\mid \overline{a_1a_2a_3a_45a_6}\color{red}{\Longleftarrow} 3\mid \overline{a_45a_6},a_6=4\quad ({\small\text{尝试}} {~}6\times 9=54)\\[1em] 7&\mid \overline{a_1a_2a_3a_454a_7}\\[1em] 8 &\mid \overline{a_1a_2a_3a_454a_7a_8}\iff 8\mid \overline {4a_7a_8}\iff \color{blue}{8\mid \overline{a_7a_8}}, \end{align*}

也就是说 $(a_2,a_4=2,a_6,a_8)$ 是 $2,4,6,8$ 偶数的排列(且 2 在第二位)，又 $M$ 只有 9 位数，从而 $(a_1,a_3,a_5,a_7,a_9)$ 是 $1,3,5,7,9$ 的奇数的排列——(即以下要用到 $a_7,{~}a_9$ 是奇数).

则

\begin{align*} 4&\mid \overline{a_1a_2a_3a_4}\iff a_4=2,\xcancel{4},6,\xcancel{8}\\[1em] 8&\mid \overline{a_1a_2a_3a_454a_7a_8}\iff a_8=2,\xcancel{4},6,\xcancel{8} \end{align*}

于是只有 $(a_4,a_8)=(2,6)\lor(6,2).$



先尝试当 $a_6=4,$ 先更新汇总各偶数排列

\begin{align*} 2&\mid \overline{a_1a_2}\iff   a_2 =\xcancel{2},\xcancel{4},\xcancel{6},8\\[1em] 3&\mid \overline{a_1a_2a_3}\\[1em] 4&\mid \overline{a_1a_2a_3a_4}\iff 4\mid \overline{a_3a_4}\iff a_4=2,\xcancel{4},6,\xcancel{8}\\[1em] 5&\mid \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\iff a_5=5\\[1em] 6&\mid \overline{a_1a_2a_3a_45a_6}\color{red}{\iff} 3\mid \overline{a_454},a_6=4\\[1em] 7&\mid \overline{a_1a_2a_3a_454a_7}\\[1em] 8 &\mid \overline{a_1a_2a_3a_454a_7a_8}\iff 8\mid \overline {4a_7a_8}\iff \color{blue}{8\mid \overline{a_7a_8}}, a_8=2,6\end{align*}

即 $a_2=8,$ $3\mid \overline{a_454},$ 于是 $a_4\ne 2,$ 从而 $(a_4,a_8)=\xcancel{(2,6)\lor}(6,2),$ 此时满足 $6\mid \overline{a_1a_2a_3654},\ $$M=\overline{a_18a_3654a_72a_9},$ 则

需 $4\mid \overline{a_36},$ $8\mid \overline{a_72},$ 则 $(a_3,a_7)=(1,7) \lor (3,7)\lor (1,3)\lor \xcancel{(7,3)}\lor \xcancel{(9,3)}\lor \xcancel{(9,7)}.$ ( 画 $\xcancel{}$ 三组不满足，原答漏了这三组)

若 $a_1=1$ 则 $(a_3,a_7)=(3,7)$ 即有 $M=\overline{183654729},$ 但是 $7\nmid 1836547,$ 即 $a_1\ne 1.$

若 $a_1=3$ 则 $(a_3,a_7)=(1,7)$ 即有 $M=\overline{381654729},$ 合题，即 $M=\color{red}{381654729}.$

若 $a_1=7$ 则 $(a_3,a_7)=(1,3)$ 即有 $M=\overline{781654329},$ 但是 $3\nmid 781$ 即 $a_1\ne 7.$

若 $a_1=9$ 则由 $3\mid \overline{98a_3}$ 知 $M=\overline{981654723}\lor\overline{981654327},$ 但都不满足 $m=7$ 的题设，即 $a_1\ne 9.$



综上，即 $a_6=4$ 时只有一个满足题设，此时 $M=\color{red}{381654729}.$

我都这个数背下来了，哈哈哈哈哈哈~



最后一类：若 $a_4= 8$ 时由 $3\mid \overline{a_458},$ 知 $a_4=2,$ 则 $M=\overline{a_14a_3258a_76a_9},$

需 $4\mid \overline{a_32},$$8\mid \overline{a_76},$ 则（同上讨论）知 $(a_3,a_7)=(1,9)\xcancel{\lor (3,9)\lor (3,1)\lor (7,1)\lor (7,9),\cdots}$ 竟然还有好多…

以第一组为例看看 $M=\overline{a_14125896a_9},$ $m=3$ 知 $a_1=7,$$M=\overline{74125896a_9}$ 不满足 $m=7,$ 舍.

其余情形依此讨论，知 $m=3$ 不成立.



PS：此题的结果只有一个 $\color{red}{381654729}.$

PSS：数论题真的不能碰

Czhang271828

回复 1# isee

可以再改凶残一点，3816547290608

然后这是韵达的快递

isee

回复 2# Czhang271828

13位？