证明四点共圆

TSC999

△ABC 中，∠A 为直角。AD⊥BC，P 是AD上任一点。在 PB 上取点 E 使 CE=CA。在 PC 上取点 F 使 BF=BA。

Q 是 CE 与 BF 的交点。延长 PQ 交 BC 于 G。

证明  ① G 是一个与 P 点位置无关的定点，因为 AG 是∠BAC 的平分线。

       ② 证明 DEFG 四点共圆。

战巡

回复 1# TSC999

该死的图，点画那么大，直接看成$AQG$共线

kuing

向量baoli撸掉第一问先：

设 `D(0,0)`, `B(-b,0)`, `C(c,0)`, `P(0,p)`，记 `PF:FC=\lambda`，则
\[\vv{BF}=\frac{\vv{BP}+\lambda\vv{BC}}{1+\lambda}=\frac{(b,p)+\lambda(b+c,0)}{1+\lambda}=\left( b+\frac\lambda{1+\lambda}c,\frac p{1+\lambda} \right),\]
由条件有 `BF^2=AB^2=b(b+c)`，故
\[\left( b+\frac\lambda{1+\lambda}c \right)^2+\left( \frac p{1+\lambda} \right)^2=b(b+c),\]
解得
\[\lambda=\sqrt{\frac{bc-p^2}{bc+c^2}},\]
同理，若记 `PE:EB=\mu`，则有
\[\mu=\sqrt{\frac{bc-p^2}{bc+b^2}},\]
于是由 Ceva 定理有
\[\frac{BG}{GC}=\frac\lambda\mu=\sqrt{\frac bc},\]
所以 `G` 是定点。

TSC999

再画个加辅助线的图，看看是否对证明有帮助：



用纯几何方法，我是不会做，不得其门而入。补充一个结论： QE=QF
三条浅蓝色线的交点是三角形 ABC 的内心，也是绿色三角形的垂心。最大的圆是三角形ABC的外接圆，
不失一般性，可以认为它是一个单位圆。