证明$C(M)$是完备空间。

abababa

$C(M)$是定义在自列紧集$M$上的全体连续函数构成的集合，在其中定义距离为
\[d(x,y)=\max_{t\in M}\abs{x(t)-y(t)}, x,y \in C(M)\]

求证$C(M)$是完备空间。

我的证明如下，其中$d$表示在相应空间中的距离：
设$\{x_n\}$是$C(M)$中的任意一个柯西序列，则由柯西序列的定义可知，存在$N$使得只要$m,n>N$就有$d(x_m,x_n)<\varepsilon$。由于只要$m,n>N$就有
\[\abs{x_m(t)-x_n(t)}\le\max_{t\in M}\abs{x_m(t)-x_n(t)}=d(x_m,x_n)<\varepsilon\]

因此$\{x_n(t)\}$对每一点$t\in M$都是柯西序列，所以存在$x: M\to\mathbb{C}$使得$\{x_n\}$按点收敛到$x$，即对每一点$t\in M$都有$\lim_{m\to\infty}x_m(t)=x(t)$。下面证明$x\in C(M)$：对任意的$t\in M$，由于
\[\abs{x(t)-x_n(t)}=\lim_{m\to\infty}\abs{x_m(t)-x_n(t)}\le\lim_{m\to\infty}d(x_m,x_n)<\varepsilon\]

所以$\{x_n(t)\}$一致收敛到$x(t)$。对任意的$t_1,t_2\in M$，由于$x_n$是连续函数，因此只要$d(t_1,t_2)<\delta$就有$d(x_n(t_1),x_n(t_2))<\varepsilon$，于是
\[d(x(t_1),x(t_2))\le d(x(t_1),x_n(t_1))+d(x_n(t_1),x_n(t_2))+d(x_n(t_2),x(t_2))<3\varepsilon\]

因此$x(t)$是连续函数，所以$x\in C(M)$，即$C(M)$中的任意一个柯西序列都收敛到$C(M)$中，因此$C(M)$是完备的。

我的问题是，我发现我没使用$M$是自列紧集这一条件，那这个证明是不是有问题？正确的证明应该怎么做？

Czhang271828

抛开证明不谈, 自列紧集确实是多余条件.

取 $\mathbb R^n$ 时结论当然正确.

abababa

回复 2# Czhang271828
下面是maven的回复：
“你见过 C(R) 吗？你马上就能看出 d(ln, sin) 没有定义，要求 M 自列紧正是为了保证你的距离定义良好，你得先证明确实定义良好，就是先证明定义在自列紧集上的连续函数确实能取到最值。”

我之前是证明过他说的在自列紧集上的连续函数能取到最值。如果$C(\mathbb{R})$不能定义，那就不是完备空间了吧，取$M=\mathbb{R}^n$时它是完备的吗？

Czhang271828

啊抱歉, 我没看文字说明. 最近在搞 PDE,书里统一把 $C_b^k$ (满足指标小于 $k$ 的导数均有界的函数) 记作 $C^k$ 了.

如果忽略有界性, 题中的度量不是良定义的.