Glaisher定理 整数划分

hbghlyj

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将$N$划分为不被$d$整除的整数相加的方法数,等于将$N$划分成$N=N_{1}+\cdots +N_{k}$使$N_i\geq N_{i+1}$,$N_i\geq N_{i+d-1}+1$的方法数,即,没有重复$d$次或更多次的加数.
当$d=2$时的情形是欧拉定理:将$N$分成不同的整数的方法数等于将$N$分成奇数的方法数.

证明
\begin{align*}&(1+x+x^2+\dots+x^{d-1})(1+x^2+x^4+\dots+x^{2d-2})\dots(1+x^k+x^{2k}+\dots+x^{kd-k})\dots
\\=&\frac{1-x^d}{1-x}\frac{1-x^{2d}}{1-x^2}\dots\frac{1-x^{kd}}{1-x^k}\dots
\\=&\prod_{d\ \nmid\ k}\frac1{1-x^k}\end{align*}

Czhang271828

hbghlyj

D. H. Lehmer (1946). "Two nonexistence theorems on partitions". Bull. Amer. Math. Soc. 52 (6): 538–544.

Hardy and Wright, Introduction to the theory of numbers, Oxford, 1938, chap. 19, where also can be found proofs of Euler's and Rogers' theorems.

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2022-8-2 23:19
本帖最后由 hbghlyj 于 2022-8-2 16:21 编辑 D. H. Lehmer (1946). "Two nonexistence theorems on partit ...

Hardy 的书西北古董咯. 推荐 Stanley 的 Enumerative Combinatorics. Vol 1 直接 Google, Vol 2 在 Z-lib 头里寻下.