函数零点问题

ym2025

12. 已知函数 $f(x)=\left(x^{2}-1\right) \ln x+\lambda(x-1)^{2}(\lambda \neq 0)$ 的三个零点分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, 其中 $x_{1}>x_{2}>x_{3}$, 则 $\lambda^{3}\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{2}+x_{3}\right)\left(x_{3}+x_{1}\right)$ 的取值范围为
A. $(-64,-32)$
B. $(-32,0)$
C. $(-\infty,-64)$
D. $(-\infty,-32)$

kuing

显然 `x=1` 是 `f(x)` 的零点，当 `x\ne1` 时 `f(x)=0\iff g(x)+\lambda=0`，其中
\[g(x)=\frac{x+1}{x-1}\ln x,\]
易知 `g(x)` 在 `(0,1)\searrow` 在 `(1,+\infty)\nearrow`，当 `x\to1` 时 `g(x)\to2`，所以 `f(x)` 另外两个零点就是 `g(x)+\lambda=0` 的两零点且 `\lambda<-2` 且两零点在 `x=1` 的两侧。

综上即 `x_2=1`, `x_1>1>x_3`, `g(x_1)=g(x_3)`，注意到
\[g\left(\frac1x\right)=\frac{\frac1x+1}{\frac1x-1}\ln\frac1x=\frac{x+1}{x-1}\ln x=g(x),\]
故由单调性得
\[g(x_1)=g(x_3)\iff x_1x_3=1,\]
另一方面，由
\begin{align*}
\ln x_1+\lambda\frac{x_1-1}{x_1+1}&=0,\\
\ln x_3+\lambda\frac{x_3-1}{x_3+1}&=0,
\end{align*}
相减得
\[\ln x_1-\ln x_3+\frac{2\lambda(x_1-x_3)}{(x_1+1)(x_3+1)}=0,\]
所以
\begin{align*}
\text{原式}&=\lambda^3(x_1+1)(1+x_3)(x_3+x_1)\\
&=-2\lambda^4\frac{(x_1-x_3)(x_1+x_3)}{\ln x_1-\ln x_3}\\
&=-4\lambda^4\frac{x_1^2-x_3^2}{\ln x_1^2-\ln x_3^2},
\end{align*}
而由对数平均值不等式有
\[\frac{x_1^2-x_3^2}{\ln x_1^2-\ln x_3^2}>x_1x_3=1,\]
所以
\[\text{原式}<-4\lambda^4<-4(-2)^4=-64,\]
当 `\lambda\to-2` 时 `x_1`, `x_3\to1`，原式 `\to-64`，当 `\lambda\to-\infty` 时显然原式 `\to-\infty`，所以范围为 `(-\infty,-64)`。