求证一道几何题

pkuhuping

这道题想了很久，没有想出来
请论坛里的高手帮忙看看，有没有好方法证明出来

kuing

我喜欢用复数法，以 `N` 为原点，用 `z_A` 表示点 `A` 对应的复数。

设那几个相等的角为 `\theta` 以及 `PB:AB=\lambda`，则
\begin{align*}
z_P-z_B&=(z_A-z_B)\cdot\lambda(\cos\theta+i\sin\theta),\\
z_Q-z_C&=(z_A-z_C)\cdot\lambda(\cos\theta-i\sin\theta),
\end{align*}
由 `z_B+z_C=0`，以上两式相加得
\begin{align*}
z_P+z_Q&=2\lambda z_A\cos\theta-\lambda(z_B-z_C)i\sin\theta\\
&=2\lambda\cos\theta\cdot\left( z_A-\frac{z_B-z_C}2i\tan\theta \right)\\
&=2\lambda\cos\theta\cdot(z_A-z_T),
\end{align*}
而 `z_P+z_Q=2z_M`，所以
\[z_M=\lambda\cos\theta\cdot(z_A-z_T),\]
所以 `MN\px AT` 兼且 `MN=\lambda\cos\theta\cdot AT`。

pkuhuping

回复 2# kuing

非常感谢，想问一下，有没有纯几何证法，我想很久了，没想到纯几何证法

爪机专用

想起了这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=5609
或许有用，先放这儿，有空再想想。

pkuhuping

不一样，我这题还比较特殊