$\sum_{n=2}^∞\frac1{n(\ln n)^α}$的敛散性

hbghlyj

$a_n=\frac1{n(\ln n)^α}$.求证:$\sum_{n=2}^∞a_n$当$α>1$时收敛;当$α≤1$时发散.

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n+1}{n}(\frac{\ln(n+1)}{\ln n})^{\alpha }=1+\frac{1}{n}+\frac{\alpha }{n\ln n}+o(\frac{1}{n\ln n})$

战巡

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对$\alpha\le 0$，明摆着就是发散的，没啥好证明的

对$\alpha>0$，明显$a_n$是递减的，会有
\[a_n>\int_{n}^{n+1}\frac{dx}{x\ln^\alpha(x)}>a_{n+1}\]
即
\[\int_{n-1}^{n}\frac{dx}{x\ln^\alpha(x)}>a_n>\int_{n}^{n+1}\frac{dx}{x\ln^\alpha(x)}\]
注意这个积分并不难，一般情况下（$\alpha\ne 1$）：
\[\int\frac{dx}{x\ln^{\alpha}(x)}=\frac{1}{(1-\alpha)\ln^{\alpha-1}(x)}+C\]
当$\alpha=1$时特别一点，变成
\[\int\frac{dx}{x\ln(x)}=\ln(\ln(x))+C\]

故此
\[\int_1^n\frac{dx}{x\ln^\alpha(x)}>\sum_{k=2}^n a_k>\int_2^{n+1}\frac{dx}{x\ln^\alpha(x)}\]
不过这里从$1$开始积不收敛，得改成这样：
\[a_2+\int_2^n\frac{dx}{x\ln^\alpha(x)}>\sum_{k=2}^n a_k>\int_2^{n+1}\frac{dx}{x\ln^\alpha(x)}\]
当$\alpha\ne 1$时，有
\[a_2+\frac{1}{(1-\alpha)}\left(\frac{1}{\ln^{\alpha-1}(n)}-\frac{1}{\ln^{\alpha-1}(2)}\right)>\sum_{k=2}^n a_k>\frac{1}{1-\alpha}\left(\frac{1}{\ln^{\alpha-1}(n+1)}-\frac{1}{\ln^{\alpha-1}(2)}\right)\]
这个很明显在$\alpha<1$时发散，在$\alpha>1$时收敛

而$\alpha=1$时，有
\[\sum_{k=2}^n a_k>\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln(2))\]
当然发散