代数面积的正负如何确定？向量应用

走走看看

请教大家，对$\vv{OA}、\vv{OB}、\vv{OC}$来说，$△OBC、△OAC、△OAB$的面积的正负号。

确定的规则是什么？

为了便于查找，在标题中加了“向量”两个字。

hbghlyj

按照三角形顶点的转向是顺时针还是逆时针而定

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回复 2# hbghlyj

难道说，OBC、COB、BCO它们的正负号不同吗？

hbghlyj

回复 3# 走走看看
OBC等于COB等于BCO

走走看看

回复 4# hbghlyj

谢谢楼上！

forum.php?mod=viewthread&tid=4181&highlight=向量
上面的6楼、7楼上有相关描述。
按照这个描述，△OAB的面积为负，其他两个为正。

网上在论述外心的向量表达式的证明时，用到一个定理，即上述帖子中的引理。网上有人叫它内裤定理、裤衩定理、奔驰定理。
$\vv{OA}S_{△OBC}+\vv{OB}S_{△OAC}+\vv{OC}S_{△OAB}=\vv{0}$。
对于O在三角形内时，这个定理易证。

对于O在三角形外时，就要考虑到面积的正负问题。

过O作OH∥CA，计OA、OB、OC与OH的夹角分别为α、β、γ，计OA、OB、OC长度分别为r1、r2、r3。

$\vv{OA}(\vv{OA}S_{△OBC}+\vv{OB}S_{△OAC}+\vv{OC}S_{△OAB})$

=$r_1^2·\frac{1}{2}r_2r_3sin(γ-β)+(-)r_1r_2cos(β-α)·\frac{1}{2}r_1r_3sin(γ-α)+r_1r_3cos(γ-α)·\frac{1}{2}r_1r_2sin(β-α)$

=$\frac{1}{2}r_1^2r_2r_3[sin(γ-β)-cos(β-α)sin(γ-α)+cos(γ-α)sin(β-α)]$

=$\frac{1}{2}r_1^2r_2r_3[sin(γ-β)+sin(β-γ)]=0$

所以，$\vv{OA}S_{△OBC}+\vv{OB}S_{△OAC}+\vv{OC}S_{△OAB}=\vv{0}$。

其中，$S_{△OAC}$面积有负号，是代数面积。

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设△ABC的外接圆半径为R，由奔驰定理得：

$S_{△OBC}=\frac{1}{2}R^2sin2A$
$S_{△OAC}=\frac{1}{2}R^2sin2B$

$S_{△OAB}=-\frac{1}{2}R^2sin2(180°-A)=\frac{1}{2}R^2sin2A$

所以 $\vv{OA}sin2A+\vv{OB}sin2B+\vv{OC}sin2C=\vv{0}$ 。

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回复 6# 走走看看

没想到，有个惊喜。

要证明    $\vv{OA}sin2A+\vv{OB}sin2B+\vv{OC}sin2C=\vv{0}$ ，

只要证明 $(\vv{OA}sin2A+\vv{OB}sin2B+\vv{OC}sin2C)\vv{OA}=0$。

展开左边，整理即得 。不需要什么引理了。

走走看看

回复 4# hbghlyj

还有个疑问，如何由表达式推导出O是三角形的外心呢？

用同一法，参照 Kuing 的方法可以证明：
    kuing.orzweb.net/viewthre ... =%E5%90%91%E9%87%8F

设O’为△ABC的外心，从前面的证明知道：

$\vv{O'A}sin2A+\vv{O'B}sin2B+\vv{O'C}sin2C=\vv{0}$ ，

又$\vv{OA}sin2A+\vv{OB}sin2B+\vv{OC}sin2C=\vv{0}$，

两式相减得 ：

$\vv{O'O}(sin2A+sin2B+sin2C)=\vv{0}$。

所以 $\vv{O'O}=\vv{0}$，即O与O'重合。