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Last edited by hbghlyj 2022-3-24 00:11近代的三角形几何学page168
$P$ 是三角形 $A B C$ 的外接圆上任一点, 从 $B$ 与 $C$ 引出的过 $P$ 的射线分别交 $C A$ 与 $A B$ 于 $E, F$. 将线段作为有向的量, 证明
$$
\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{B F}{F A}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{C E}{E A}=-1
$$
其中 $a, b, c$ 是三角形 $A B C$ 的与 $A, B, C$ 相对的边.
Huseyin Demir(Kandilli, Eregli, Kdz, 土耳其) 给出的解答:
令 $e=\frac{C E}{E A}, f=\frac{B F}{F A}$, 由点 $E$ 与 $F$ 的射影对应, 我们有双线性关系
$$
x \cdot e f+y \cdot e+z \cdot f+u=0
$$
其中 $x, y, z, u$ 是常数. 为了求出这些系数的值, 令 $P$ 依次与点 $A, B, C$ 重合. 若 $P=A, e$ 与 $f$ 为无穷, 从而 $x=0$. 若 $P=B$, 则 $B E$ 是外共轭中线, $e=-\frac{a^{2}}{c^{2}}, f=0$, 因此
$$
-\frac{y \cdot a^{2}}{c^{2}}+u=0
$$
即
$$
y=\frac{c^{2}}{a^{2}} u
$$
类似地
$$
-\frac{z \cdot a^{2}}{b^{2}}+u=0
$$
即
$$
z=\frac{b^{2}}{a^{2}} u
$$
将它们代入即得结果. |
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