求 $5x^2+\frac 1{\sqrt {x^2-4y^2}+y}$ 的最小值

isee

源自知乎提问




题：已知 $x>2y>0,$ 则 $5x^2+\frac 1{\sqrt {x^2-4y^2}+y}$ 的最小值为___________.






这里仅补充一下被题主“除了”的使用柯西不等式的方法.  $x>2y>0$ 之外， $x,y$ 之间并没有太多“制约”，于是想到尝试化二元为一元，注意到

$$\frac {5x^2}4=\left(1+\frac 14\right)\left(\color{blue}{x^2-4y^2}+4y^2\right)\geqslant \left(\sqrt {x^2-4y^2}+y\right)^2,$$

于是

\begin{align*} &\quad 5x^2+\frac 1{\sqrt {x^2-4y^2}+y}\\[1em] &\geqslant 5x^2+\frac 1{\sqrt {\frac {5x^2}4}}\\[1em] &=5x^2+\frac 1{\sqrt {5}x}+\frac 1{\sqrt {5}x}\\[1em] &\geqslant 3\sqrt[3] {5x^2\cdot \frac 1{\sqrt {5}x}\cdot \frac 1{\sqrt {5}x}}\\[1em] &=3. \end{align*}

两次等号同时成立时， $x=\frac  1{\sqrt 5},{~}y=\frac 1{10}.$

走走看看

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欣赏了。

isee

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肯定好多解法的，因为 Cauchy 不等的证明方法很多

kuing

回复 3# isee

\[(x^2-4y^2)(5-1)\leqslant\bigl( \sqrt5x-2y \bigr)^2\riff\sqrt{x^2-4y^2}\leqslant\frac{\sqrt5}2x-y\]
这样更有装X效果喔

走走看看

回复 3# isee

若用柯西不等式，怎么解?

isee

回复 5# 走走看看

想用柯西不等式一步出结果？不太可能.

isee

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\[(x^2-4y^2)(5-1)\leqslant\bigl( \sqrt5x-2y \bigr)^2\riff\sqrt{x^2-4y^2}\leqslant\frac{ ...
kuing 发表于 2022-3-14 14:37

$a_1^2-a_2^2-\cdots-a_n^2>0$，$b_1^2-b_2^2-\cdots-b_n^2>0$，则有
\[(a_1^2-a_2^2-\cdots-a_n^2)(b_1^2-b_2^2-\cdots-b_n^2)\leqslant (a_1b_1-a_2b_2-\cdots-a_nb_n)^2,\]
这个不等式有没有“名字”？

kuing

回复 7# isee

不知道呢，也没用过这种多元的，只用过n=2。

isee

回复 8# kuing


翻到了，陈计《代数不等式》P141，叫 $\rm{Acz\acute{e}l}$ 不等式，网络上说是加拿大的  $\rm{Acz\acute{e}l}$ 在1956年发现

isee

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肯定好多解法的，因为 Cauchy 不等的证明方法很多
isee 发表于 2022-3-14 14:27

打脸，可能是题目难度级别不够，搞得我自己补了另外的方式.

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除此之外，可考虑均值不等式，首先处理分母中被柯西不等式化去的根式.

换一种写法，令 $\sqrt {x^2-4y^2}=z,$ 则 $x^2=4y^2+z^2$ ，于是

\begin{align*} &\quad 5x^2+\frac 1{\sqrt {x^2-4y^2}+y}\\[1em]  &=20y^2+5z^2+\frac 1{y+z}\\[1em]  &=4y^2+4z^2+\color{blue}{16y^2+z^2}+\frac 1{y+z}\\[1em] &\geqslant 4y^2+4z^2+\color{blue}{8yz}+\frac 1{y+z}\\[1em] &=4(y+z)^2+\frac 1{2(y+z)}+\frac 1{2(y+z)}\\[1em] &\geqslant 3\sqrt[3] 1\\[1em] &=3. \end{align*}

两次等号同时成立时， $y+z=\frac 12$ , $4y=z$.



或请出拉格朗日乘数法，记 $f(y,z)=20y^2+5z^2+\frac 1{y+z}$，易解偏导方程 $4y=z=\frac 25,$ $f(y,z)\geqslant 3.$



或注意到 $a^2-b^2>0,c^2-d^2>0$ 有 $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leqslant (ac-bd)^2$ 则

\begin{align*} &\quad 5x^2+\frac 1{\sqrt {x^2-4y^2}+y}\\[1em]  &=5x^2+\frac 1{\sqrt {\left(\frac 54-\frac 14\right)(x^2-4y^2)}+y}\\[1em]  &\geqslant 5x^2+\frac 1{\color{blue}{\frac {\sqrt 5}2x-y}+y}\\[1em] &=5x^2+\frac 1{\sqrt 5 x}+\frac 1{\sqrt 5 x}\\[1em] &\geqslant 3. \end{align*}

取等号时 $\frac {\sqrt 5/2}x=\frac {1/2}{2y},$ $5x^2=\frac 1{\sqrt 5 x}$ 即 $x=\frac  1{\sqrt 5},{~}y=\frac 1{10}.$

回头一看，都是与根式斗智斗勇

走走看看

回复 9# isee

给它个中文名字：奥采尔不等式。

也谢谢10楼的回复。