分解因式$x^3+8y^3+6xy\color{red}{-}1$

isee

源自知乎提问




题：分解因式 $x^3+8y^3+6xy\color{red}{-}1.$



注意

\begin{align*} a^3+b^3+c^3-3abc &=\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a &  b\\ b & c & a \end{vmatrix}\\[1em] &=\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c\\ c & a &  b\\ b & c & a \end{vmatrix}\\[1em] &=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ c & a &  b\\ b & c & a \end{vmatrix}\\[1em] &=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). \end{align*}

令 $a=x,b=2y,c=-1$ 即有

$x^3+8y^3+(-1)^3-3\cdot x\cdot (2y)\cdot (-1)=(x+2y-1)(x^2+4y^2+1-2xy+x+2y).$

kuing

原来还能用行列式来装X

isee

回复 2# kuing


好意外，我以为大家都知道啊~

Tesla35

现在的新教材选修线性代数那本书好像有这种因式分解的方法

力工

那个什么二次齐式型的用矩阵也可以分解的，好象是名为《高等数学在初等数学中的应用》中介绍过。
直接配方也是可行的啊，这个行列式方法装得太难看了，不贴近我这等普罗大渣渣。
\begin{align*}
x^3+9y^2+6xy-1
\\=(x+2y)^3-3\cdot x\cdot 2y(x+2y)+6xy-1
\\=(x+2y)^3-1-6xy(x+2y-1)
\\=(x+2y-1)[(x+2y)^2+(x+2y)+1]-6xy(x+2y-1)
\end{align*}

isee

回复 5# 力工


好的好的，下次不写了

另外：强烈建议用草稿本，排版瞬间难度降下来

对齐是 &=  （即=号对齐），结尾放 \\ (即换行）

PS: 现在目前这个加\\在最前，这种效果竟然是右对齐，也是有趣的

kuing

回复 6# isee

\\ 放最前相当于放在上一行的最后啊，回车是忽略的。而由于没放 & ，align 类似于 array{rlrlrl...} ，第一列当然是右了。

isee

回复 7# kuing


其实我已经反应过来了，哈哈哈哈哈

力工

回复 7# kuing
回复8# isee
惭愧惭愧，这格式对我而言只是机械照搬，不知道画虎不成猫，成了四不像。