对角线上一点到各边的距离与边长成比例

hbghlyj

若存在一点P到四边形ABCD的各边的距离与这些边的长度成比例, 且P在一条对角线上, 则AB·CD=BC·DA.
若ABCD为圆内接四边形,则ABCD为调和四边形,且P为对角线交点.
又考虑一个非圆内接的筝形，对称轴上有一点P满足条件.
证明:设 P 到四边形 ABCD 的各边的距离与这些边的长度成比例, 且P在AC上,要证明 AB·CD=BC·DA.
作出使$BA\over BC$为定值的B的轨迹(阿氏圆).
若P到ABCD的各边的距离与这些边的长度成比例,
$\frac{BA}{BC}=\frac{P\text{到}BA\text{的距离}}{P\text{到}BC\text{的距离}}=\dfrac{2\S{PAB}\over BA}{2\S{PBC}\over BC}=\frac{\S{PBA}}{\S{PBC}}·\frac{BC}{BA}=\frac{PA}{PC}·\frac{BC}{BA}\implies\frac{BA}{BC}=\sqrt{\frac{PA}{PC}}$.
同理$\frac{DA}{DC}=\sqrt{\frac{PA}{PC}}$.
因此$\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}$.即$AB·CD=BC·DA$.

hbghlyj

P(0,-1),A(-1,0),C(2,0),满足$\frac{P\text{到}BA\text{的距离}}{BA}=\frac{P\text{到}BC\text{的距离}}{BC}$的点$B$的轨迹为两条三次曲线(因为是有向距离,有正负两种)
(绿色)$\frac{x+y+1}{x^2+2 x+y^2+1}=\frac{x-2 y-2}{x^2-4 x+y^2+4}$$\iff x^2 y-x^2+x+y^3+y^2+2 y+2=0$
(棕色)$\frac{x+y+1}{x^2+2 x+y^2+1}=-\frac{x-2 y-2}{x^2-4 x+y^2+4}$$\iff 2 x^3-x^2 y-3 x^2+2 x y^2-8 x y-3 x-y^3-y^2+2 y+2=0$
它们通过定点A,C,P,并且在点A与直线AP相切,在点C与直线CP相切.
为求出曲线的渐近线,注意到,当$B$很远时,$\frac{BA}{BC}=1$,所以$\frac{P\text{到}BA\text{的距离}}{P\text{到}BC\text{的距离}}→1$,所以P到BA,BC的极限位置的距离相等.这就确定出渐近线的方向.
对于绿色曲线,注意到P到AC和CA距离相等(且$P$在这两条直线的同侧),所以AC就是BA,BC的极限位置,所以渐近线为$y=k$,为求出$k$,与曲线方程联立消$y$得到一个关于$x$的二次方程$(k-1)x^2+x+k^3+k^2+2k+2=0$,所以$k=1$(为了使这个方程的一个解是∞,就令二次项系数为0),所以绿色曲线的渐近线为$y=1$(图中绿色虚线).
对于棕色曲线,点$A$关于$P$的对称点为$A'(1,-2)$,点C关于P的对称点为$C'$,注意到P到$A'C$和$AC'$的距离相等(且$P$在这两条直线的异侧),所以直线$CA':y=2x-4$就是BC的极限位置,$AC'$就是BA的极限位置,所以渐近线为$y=2x+k$.为求出$k$,与曲线方程联立消$y$得到一个关于$x$的二次方程$(-5 k-23) x^2+\left(-4 k^2-12 k+1\right) x-k^2-k^3+2 k+2=0$,所以$k=-\frac{23}5$(为了使这个方程的一个解是∞,就令二次项系数为0),所以棕色曲线的渐近线为$y=2x-\frac{23}5$(图中棕色虚线).