求证线段比例相等

TSC999

半径为 r1 和 r2 的两圆相交于 A、B 点。在 AB 上任取一点 M，过 M 点作直线

交两圆于 C、D 并使 M 是 CD 的中点。从 C、D 点作两圆的切线交于 P 点。

求证： PC/PD=r1/r2.

Tesla35

198几年的初中数学联赛

isee

回复 2# Tesla35


难怪此题看上去如此的端庄

战巡

回复 1# TSC999

不难吧...

令$CD$和圆$O_1$另一个交点为$E$，和圆$O_2$另一个交点为$F$

此时我们知道，有$DM\cdot MF=AM\cdot MB=CM\cdot ME$，因此当$CM=DM$时，会有$ME=MF$，进而$CE=DF$

按弦切角定理，有$\angle PCD$等于$CE$所对的圆周角，那就有
\[\sin(\angle PCD)=\sin(CE所对圆周角)=\frac{CE}{2r_1}\]
同理
\[\sin(\angle PDC)=\frac{DF}{2r_2}\]
接下来正弦定理就有
\[\frac{PC}{PD}=\frac{\sin(\angle PDC)}{\sin(\angle PCD)}=\frac{DF}{2r_2}\cdot \frac{2r_1}{CE}=\frac{r_1}{r_2}\]

TSC999

回复 4# 战巡

非常感谢【战巡】老师的解答。