各边 3 等分点连成的凸多边形的面积的极限

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设 $P_{1}$ 为边长等于 1 的等边三角形, $P_{2}$ 是由 $P_{1}$ 之各边 3 等分点连成的六边形, $\ldots, P_{n+1}$ 是由 $P_{n}$ 之各边 3 等分点连成的凸多边形. 试证 $P_{n}$ 有 $3 \cdot 2^{n-1}$ 条边, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{Area}\left(P_{n}\right)$.

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我们用 $S_{1}$ 表示从 $P_{1}$ 得到 $P_{2}$ 时削去的面积, 用 $S_{2}$ 表示 从 $P_{2}$ 得到 $P_{3}$ 时削去的面积, $\cdots$, 一般地, $n$ 表示从 $P_{n}$ 得到 $P_{n+1}$ 时削去的面积; 并仍以记号 $P_{n}$ 表示多边形 $P_{n}$ 的面积. 容易知道
$$
S_{1}=3 \cdot \frac{1}{9} P_{1}=\frac{1}{3} P_{1} \text {. }
$$
在从 $P_{1}$ 得到 $P_{2}$ 时削去的每一小块两个角的外部, 例如图 1.6(a) 中的 $\triangle A B_{1} C_{1}$ 的 $B_{1}, C_{1}$ 处之外,在从 $P_{2}$ 制作 $P_{3}$ 时又被削掉两小块: $\triangle B_{1} B_{1}^{\prime} B_{1}^{\prime \prime}$ 和 $\triangle C_{1} C_{1}^{\prime} C_{1}^{\prime \prime}$. 由所给条件容易得到
$$
S_{\triangle B_{1} B_{1}^{\prime} B_{1}^{\prime \prime}}=S_{\triangle C_{1} C_{1}^{\prime} C_{1}^{\prime \prime}}=\frac{1}{9} S_{\triangle A B_{1} C_{1}} .
$$
所以得到 $S_{2}=2 S_{1} / 9$. 类似地我们可以得到
$$
S_{n+1}=\frac{2}{9} S_{n}, \quad n=1,2, \ldots
$$
因而
$$
S_{n}=\left(\frac{2}{9}\right)^{n-1} S_{1}, \quad n=1,2, \ldots
$$
这样, 对于 $n=2,3, \ldots$, 有
$$
\begin{aligned}
P_{n}&=P_{1}-\left(S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n-1}\right)\\
&=P_{1}-\left[S_{1}+\frac{2}{9} S_{1}+\cdots+\left(\frac{2}{9}\right)^{n-2} S_{1}\right] \\
&=P_{1}-S_{1}\left[1-\left(\frac{2}{9}\right)^{n-1}\right] /\left(1-\frac{2}{9}\right) \\
&=\left\{1-\left[1-\left(\frac{2}{9}\right)^{n-1}\right] \cdot \frac{3}{7}\right\} \cdot P_{1}
\end{aligned}
$$
因此
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P_{n}=\frac{4}{7} P_{1}=\frac{4}{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{7} .
$$
此外, 用归纳法容易证明 $P_{n}$ 是 $3 \cdot 2^{n-1}$ 边形.

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著名数学家 George de Rham 曾研究过多边形 $P_{n}$ 的极限图形 $P$ 的边界曲线 $C$, 可参阅 "Un peu de mathématiques à propos d'une courbe plane, " Elem. Math., 2(1947), 73-76, 89-97; "Sur une courbe plane," J. Math. Pures Appl., 35(1956), 25-42; "Sur les courbes limites de polygones obtenus par trisection," Enseign. Math., 5 (1959), 29-43. 他的研究结果表明, $C$ 是一条几乎处处为零曲率的 $C^{1}$ 曲线. 然而, 它的任一弧段中都包含有曲率为 $+\infty$ 的点, 因而 $C$ 无处解析. 如果从 $P_{n}$ 得到 $P_{n+1}$ 的过程是把 $n$ 级线段分为比例 $(1 / 4,1 / 2,1 / 4)$, 而不是 $(1 / 3,1 / 3,1 / 3), n=1,2, \ldots$, 那么曲线 $C$ 是解析的, 由拋物线弧段拼组而成.