函数列 积分 证明一致收敛到0

hbghlyj

设$f_1(x)$为$[0,a]$上的可积函数,递归地定义函数列$\{f_n\}$如下:$$f_{n+1}(x)=\int_0^xf_n(t)~\mathrm dt,\quad n≥1$$证明$\{f_n\}$一致收敛到0.

abababa

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因为可积函数必定是有界的，所以存在$M$使得$\abs{f_1(t)}<M$。然后
\[\abs{f_2(x)}=\abs{\int_{0}^{x}f_1(t)dt}\le\int_{0}^{x}\abs{f_1(t)}dt\le\int_{0}^{x}Mdt\le Mx\]
\[\abs{f_3(x)}=\abs{\int_{0}^{x}f_2(t)dt}\le\int_{0}^{x}\abs{f_2(t)}dt\le\int_{0}^{x}Mtdt=M\frac{x^2}{2}\]

一直进行积分，最后有
\[\abs{f_{n+1}(x)}\le M\frac{x^n}{n!}\le M\frac{a^n}{n!}\to0(n\to\infty)\]
所以是一致收敛到零。

战巡

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令
\[f_1(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{k}x^k+...\]
\[f_n(x)=a_{0,n}+a_{1,n}x+a_{2,n}x^2+...+a_{k,n}x^k+...\]
那么有
\[f_{n+1}(x)=\int_0^xf_n(t)dt=a_{0,n}x+a_{1,n}\frac{x^2}{2}+...+a_{k,n}\frac{x^{k+1}}{k+1}+...\]
故此
\[a_{k,n+1}=\frac{a_{k+1,n}}{k+1}\]
递推下来，就会有
\[f_n(x)=a_0\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+a_1\frac{x^n\cdot 1!}{n!}+a_2\frac{x^{n+1}\cdot 2!}{(n+1)!}+...+a_k\frac{x^{n+k-1}\cdot k!}{(n+k-1)!}+...\]
这里面$x\in[0,a]$，不可能跑到无穷大，对任意$x\in[0,a]$，始终会有
\[\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n+k-1}}{(n+k-1)!}=0\]
所以这里面每一项的极限都是$0$