复平面 直线在tanh下的像

hbghlyj

在GeoGebra中输入以下指令

1. A:i
2. A':tanh(A)
3. f:y=1
4. A:point(f)
5. loc1:locus(A',A)
6. setcolor(loc1,red)

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我们看到,直线$y=1$在tanh下的像为经过$1,i\tanh1,-1$的圆弧.

继续输入以下指令

1. f:y=1+.5x

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我们看到,直线$y=1+\frac12x$在tanh下的像为经过$1,i\tanh1,-1$的一条曲线.
继续输入以下指令

1. f:y=1+10x

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得到了一种在$\pm1$绕很多圈儿的曲线

hbghlyj

画一下,$y=100x$在tanh下的像
In[1]:=
        ComplexExpand[Tanh[x + 100 x I]]
Out[1]:=
        $\frac{i \text{Sin}[200 x]}{\text{Cos}[200 x]+\text{Cosh}[2 x]}+\frac{\text{Sinh}[2
   x]}{\text{Cos}[200 x]+\text{Cosh}[2 x]}$
In[2]:=
        $\text{ParametricPlot}\left[\left\{\frac{\text{Sinh}[2 x]}{\text{Cos}[200 x]+\text{Cosh}[2 x]},\frac{\text{Sin}[200
   x]}{\text{Cos}[200 x]+\text{Cosh}[2 x]}\right\}, \{x, -.5, .5\}, \text{PlotTheme → "Scientific"}\right]$
Out[2]:=