求$\frac 1{u+v}\sqrt {(\frac uv)^2+(\frac vu)^2}$ 的最小值

isee

源自知乎提问



题：已知正实数 $u,v$ 满足 $\frac 1u+\frac 1v=\frac 18$，则 $\frac 1{u+v}\sqrt {\left(\frac uv\right)^2+\left(\frac vu\right)^2}$ 的最小值为______.

解答先不上，哈哈哈~

kuing

看了那边的图，差点以为是 `\dfrac1u+\dfrac1v=\dfrac1f`

kuing

也可以不用什么不等式
\begin{align*}
\text{原式}&=\frac18\cdot\frac1{\left( \frac1u+\frac1v \right)(u+v)}\sqrt{\left( \frac uv \right)^2+\left( \frac vu \right)^2}\\
&=\frac18\cdot\frac1{2+\frac uv+\frac vu}\sqrt{\left( \frac uv+\frac vu \right)^2-2}\\
&=\frac18\cdot\frac{\sqrt{t^2-2}}{2+t}\quad(t\geqslant2)
\end{align*}
然后证关于 t 递增也 OK。

isee

回复 2# kuing

一说之后再也回不去了

isee

回复 3# kuing

乘以对称和，果然是角度不同，风景不同.


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把根号外的分式化为常数试试

\begin{align*} \frac 1{u+v}\sqrt {\left(\frac uv\right)^2+\left(\frac vu\right)^2}&=\frac 1{\frac {u+v}{uv}}\cdot \frac 1{uv}\sqrt {\left(\frac uv\right)^2+\left(\frac vu\right)^2}\\[1em] &=8\sqrt {\frac 1{u^2v^2}\left(\frac uv\right)^2+\frac 1{u^2v^2}\left(\frac vu\right)^2}\\[1em] &=8\sqrt {\left(\frac 1v\right)^4+\left(\frac 1u\right)^4}\end{align*}
   
而由二元幂平均不等式

\begin{gathered}
\left({\frac {\left(\frac 1v\right)^4+\left(\frac 1u\right)^4}2}\right)^{\frac 14}\geqslant \left(\frac {\left(\frac 1v\right)^1+\left(\frac 1u\right)^1}2\right)^{\frac 11}=\frac 1{16}\end{gathered}

从而求式的最小值为$\frac{\sqrt 2}{32}$.