高中三角形中求面积（是坑，别跳）

isee

改编自知乎提问

题：在 $\triangle ABC$ 中满足 $a\sin B=b\sin\left(A-\frac {\pi}3\right)$，若 $D$ 是线段 $BC$ 一点且 $AD=3,BD=2,$ $CD=5$，求 $\triangle ADC$ 的面积.

改了数字，我也没过程了~

战巡

回复 1# isee

你这数据胡编的吧？

很容易得到$\angle A=120\du$，$A$点轨迹为$BC$所对的一段圆弧，其半径为$\frac{4}{\sqrt{3}}$，问题是这个时候在$D$点作半径为$2$的圆，你会发现它和这个圆弧并无交点

更确切的说，由勾股差定理，可知
\[\frac{BD^2+AD^2-c^2}{CD^2+AD^2-b^2}=-\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}}=-\frac{3}{5}\]
即
\[\frac{13-c^2}{29-b^2}=-\frac{3}{5}\]
这个和余弦定理得到的结果$b^2+c^2-8^2+bc=0$联立，是无实数解的

isee

回复 2# 战巡

嗯，随手写的，抱歉
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顶楼已经修改数据

战巡

回复 3# isee


还是很恶心啊

方法是一样的
勾股差定理得到
\[\frac{BD^2+AD^2-c^2}{CD^2+AD^2-b^2}=-\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}}=-\frac{2}{5}\]
\[\frac{2^2+3^2-c^2}{5^2+3^2-b^2}=-\frac{2}{5}\]
这个和$b^2+c^2-7^2+bc=0$联立，得到
\[b=\sqrt{\frac{7}{38}(191-5\sqrt{681})},c=\sqrt{\frac{7}{19}(34+\sqrt{681})}\]
因此
\[S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}bc\sin(A)=\frac{7}{76}\sqrt{\frac{3}{2}(3089+21\sqrt{681})}\]
\[S_{\Delta ADC}=\frac{5}{7}S_{\Delta ABC}=\frac{5}{76}\sqrt{\frac{3}{2}(3089+21\sqrt{681})}\]

isee

回复 4# 战巡


强呢，这么难算的都算出结果了，辛苦战巡了~~