利用导数证勾股定理

isee

源自知乎提问



题：已知直角 $\triangle ABC$， $\angle C=90^\circ$，求证： $a^2+b^2=c^2$，即勾股定理.

将“纯代数方法”仅当作是不构造辅助线吧.

注意到在 ${\rm {Rt}}\triangle ABC$ 中有

\begin{gathered}  a^2+b^2=c^2\\[1em] \iff \left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2=1\\[1em] \iff \sin^2A+\cos^2A=1, \end{gathered}

于是令

\begin{align*} f(x)&=\sin^2x+\cos^2x,{~}x\in \mathbb R\\[1em] f'(x)&=2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x)=0, \end{align*}

于是 $f(x)$ 为常数函数，而 $f(0)=1,$ 从而 $\sin^2x+\cos^2x=1$，于是 $\sin^2A+\cos^2A=1,$ 得证.




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注：两角和差公式可利用几何法证明避开传统的两点距离，以免循环论证.

hbghlyj

这个讲义的第53页用导数推出两角和差

isee

回复 2# hbghlyj

是啊，我又以为大家都知道，直接\[(\cos(x+y))'=(\cos x)'\cos y-(\sin x)'\sin y\]就是了

isee

回复 4# hbghlyj

对，对 x 求导

力工

回复 2# hbghlyj
厉害，学识、见识真广

isee

回复 4# hbghlyj


哦哦哦，我细看了下，误会你的意思了.
我说的是从一个恒等式到另一个，而你是直接证明这两个恒等式.


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不过，必须提醒一下，Lecture Notes (Modified on 4 March 2022)——即2#那份英文讲义——sin x, cos x 都是以级数的形式定义的，从而得到 (sin x)', (cos x)' ，也就不存在循环论坛的问题.

在一般的数学分析里——如华东师大版——(sin x)' 即 sin x 导数 的证明是依赖和差化积，而和差化积是依赖 cos(x+y)=cos x cos y-sin x sin y 和角公式的，有循环论坛的可能

isee

还是传上来吧，至少是中文的，《陶哲轩实分析》第333页-337，人民邮电出版社，译者王昆扬.