最值问题

lrh2006

已知$x，y\in R$，且$x+y=3$，则$\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{y^2+4}$的最小值是（   ）
请教各位，谢谢！

kuing

消元求导，试根看看那四次方程有没有简单解，有就ok，没有就扔掉

lrh2006

回复 2# kuing

好的谢谢。
这个是参考答案，我觉得没道理

kuing

回复 3# lrh2006

这明显是乱解，扔掉即可。

isee

回复 4# kuing

即然是书的题，虽然解析是“无理头”，怕是有简单解，如(1,2)或(2,1)

isee

回复 5# isee

整理成 y 的式子，求导后，观察有解 y=1，如果是填空题，就猜(2,1)了

isee

回复 1# lrh2006

于是由柯西不等式有
\[\sqrt {(\frac 45+\frac 15)(x^2+1)}\geqslant \frac 2{\sqrt 5}x+\frac 1{\sqrt 5},\]
\[\sqrt {(\frac 15+\frac 45)(4y^2+16)}\geqslant \frac 2{\sqrt 5}y+\frac {8}{\sqrt 5},\]
两式相加即解.

kuing

总之这种题型属于“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型，方程有简单就随便凑啥方法都行。

引用 forum.php?mod=viewthread&tid=4447#pid21058 的 16#：

因为求导发现遇四次方程，根据难度守恒定律，无论用什么方法，终归都会遇到四次方程，故此：
（1）如果方程无简单解，则什么方法都没用；
（2）如果有简单解，则各种方法都将可行，如果非要比个优劣，那就只能比较哪个更便于你目测出那个简单解，哪个计算更最少，哪个写起来更简洁，甚至哪个逼格更高，等等这些非本质的东西。然而，只要数据稍微一变，所有方法都得跪。

isee

回复 8# kuing

得令~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

走走看看

经过两位讨论，很明白地知道，答案应是$3\sqrt{5}$，而不是$5\sqrt{2}$。可从直观上判断出原答案是错误的，因为$3\sqrt{5}＜5\sqrt{2}$。