几何最值

大佬最帅

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战巡

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很显然$\angle AEB=\angle CDF=90\du$，$E,G,D,H$共圆，而且$HG$正好是这个圆的直径，如此就有$\sin(\angle EHD)=\frac{ED}{d}=\frac{ED}{HG}$

而$\angle EHD=\angle HAD+\angle HDA=45\du+\angle HDA$，如果我们过$C$作$CI\perp AB$于$I$，那么很容易求出$CI=\sqrt{3},OI=1$
那么如果令$OD=x$，就会有
\[CD=\sqrt{CI^2+ID^2}=\sqrt{3+(1+x)^2}\]
然后
\[\sin(\angle EHD)=\sin(45\du+\angle HDA)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin(\angle HDA)+\cos(\angle HDA))\]
\[=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{CI}{CD}+\frac{ID}{CD})=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}+1+x}{\sqrt{3+(1+x)^2}}\]
另一方面很容易证明$ED=\sqrt{EO^2+OD^2}=\sqrt{4+x^2}$，于是有
\[\sin(\angle EHD)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}+1+x}{\sqrt{3+(1+x)^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}}{HG}\]
\[HG^2=\frac{2(3+(1+x)^2)(4+x^2)}{(\sqrt{3}+1+x)^2}\]
接下来就是暴力求导，然后求解四次方程，然后套入计算，我反正懒的搞了，这题建议丢掉