求 $(\vv {MB}+\vv{MC})\vv{AD}$ 最大值

isee

融合了知乎提问两问，中线的，点积的



题：在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=3,$ $AC=2,$ $BC=\sqrt {14}$，若 $D$ 为 $BC$ 边 任意一点， $M$ 为线段 $AD$ 的中点，则 $(\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC})\cdot \overrightarrow {AD}$ 的最大值是______.

kuing

图与数据严重不符啊

isee

回复 2# kuing


示意图示意图，反正对你又没影响~

走走看看

回复 3# isee


是不是等于3？

isee

回复  isee


是不是等于3？
走走看看 发表于 2022-4-1 22:47

是的是的

走走看看

写个过程吧：

设BD=x
\begin{align*}
&(\vv{MB}+\vv{MC})\cdot\vv{AD}\\\\
&=(\vv{MD}+\vv{DB}+\vv{MD}+\vv{DC})\cdot\vv{AD}\\\\
&=(\vv{AD}+\vv{DB}+\vv{DC})\cdot\vv{AD}\\\\
&=(\vv{AB}+\vv{DC})\cdot\vv{AD}\\\\
&=\vv{AB}\vv{AD}-\vv{DC}\vv{DA}\\\\
&=\frac{\vv{AB}^2+\vv{AD}^2-\vv{BD}^2}{2}-\frac{\vv{DC}^2+\vv{DA}^2-\vv{AC}^2}{2}\\\\
&=\frac{\vv{AB}^2+\vv{AC}^2-\vv{BD}^2-\vv{DC}^2}{2}\\\\
&=-x^2+\sqrt{14}x-\frac12\\\\
&\le 3
\end{align*}

当D为BC的中点时，取得最大值3。

isee

回复 6# 走走看看


行距为\\[1em]
1em 表示一个m的距离，所以其实距离类似，任意实数倍
还有距离小一点是\\[1ex]，1个x的距离，也是任意实数倍