请教两道答案有疑问的函数题

hjfmhh

走走看看

回复 1# hjfmhh

没有看懂（8）的第二部分解答，但看出倒数第三行的不等式的左侧部分是错误的，

即$\sqrt{a+1-\frac{b^2}4}>\sqrt{a+1}$是不可能成立的。

从理论上讲，△≥0，且$f(-\frac{b}{2a})=x_2$即可，但解答太麻烦。

走走看看

与这道题有点像。

走走看看

回复 1# hjfmhh


（8）的题目与解答不对应。按照其题目，当$x=-\frac{b}{2a}＜0$且a+1＞0时，f(x)的值域是$[0,f(-\frac{b}{2a})]$，而后面的解答是按照同域函数，即[0,f(0)]来解的。如果按照这个改编题，会因太复杂而解不出来。

既然出题者还是希望A=B，那就不能用A∩[0，+∞）=B来表示，比如A=[-3,5]，B=[0,5]，此时，A≠B。

解答部分也很不细心。倒数第五行，$x_0=\sqrt{a+1-\frac{b^2}{4a}}$，分母少了一个a。而且，倒数第四行是的式子中是$-\frac{b^2}4$，而不是$+\frac{b^2}4$，否则后面哪需要判断，可以直接得到左式＞0，因而构成矛盾，不需要后面那么多行。

题目可改回到3楼的题目(同域函数)。

走走看看

回复 1# hjfmhh

（7）题的解释如下，以①为例。


前一对集合必须满足：$t\le\frac{λ}{t+9}，t+1\ge\frac{λ}{t+4}$，即满足$t(t+9)\le λ\le(t+1)(t+4)$，解得$t\le1$。

后一对集合必须满足：$t+4\le\frac{λ}{t+1}，t+9\ge\frac λt$，即满足$(t+4)(t+1)\le λ\le(t+9)t$，解得$t\ge1$。

两者必须同时满足，所以t=1。

（8）题目的条件A∩[0,+∞)=B改为A=B。

前面部分的解答，勉强可用，到$-\frac{b}{2a}\le0$段结束。不过，要添加a＜-1的情况讨论。

当a＜-1时，0不属于A，但0∈B，矛盾。
因此，-1<a<0。

当$-\frac{b}{2a}＞0$，即b＞0时，$B=[0，f(-\frac{b}{2a})]$，$ f(-\frac{b}{2a})$是f(x)=0的一个较大的根，即$\sqrt{\frac{4a(a+1)-b^2}{4a}}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4a(a+1)}}{2a}$

整理后得到：$b=\sqrt{b^2-4a(a+1)}(\sqrt{-a}-1)$，而$\sqrt{-a}-1＜0$，所以上式不成立。

综上，b的取值范围是(-1,0)。

hjfmhh

（7）我觉得关键没说清值域的两个区间为什么不能在定义域的同一区间。譬如当t>0时，都属于第一个区间得t(t+9)<t(t+1),而这是不可能的。不知道这样理解对不？

hjfmhh

（8）按题目要求的解法应该怎么样？

走走看看

回复 6# hjfmhh

可以把不等号改为等于号，然后，看求出来的值，是否满足两个区间相等，或者是前一个区间是后一个区间的子区间。  一般来说可以。如果不满足，那就还要按照不等式解。

得不出来你的那个式子，所有式子必须是推导出来的，而不是凭空想象。

这两段连续区间，只能是三种情况，一种都在y轴左侧，一种是都在y轴右侧，还有一种情况是一个在y轴左侧，一个在y轴右侧。

这道题，是个综合题，必须知道，区间与子区间的关系，还必须知道反比例函数的图象和性质。

以t＞0为例，根据t的值，算出λ=10，因此λ是存在的。

走走看看

回复 7# hjfmhh

还是按照正规解法写一下。不然，以后遇到集合的题目，可能会犯错。

这一道题，也是综合题，是一道复合函数题。
必须了解集合的性质、y=$\sqrt{x}$的图象与性质 以及 $y=ax^2+bx+c(a≠0）$的图象与性质。

记$p(x)=ax^2+bx+(a+1),f(x)=\sqrt{p(x)},A∩[0,+∞)=B$

遇到A∩[0,+∞)=B，必须讨论B=φ 和 B≠φ 两种情况。

第一问：a=1,$p(x)=x^2+bx+2$，图象开口向上

当B=φ时，p(0)=2，p(x)开口向上，总存在p(x)≥0所对应的区间，这样再交[0,+∞)就是B，B必然不空。这与B=φ相矛盾。

当B≠φ时，p(0)=2，p(x)开口向上。b的值只影响对称轴位置以及是否与x轴有交点。
当对称轴在y轴左侧或y轴时，即b≥0时，A的区间含有[0，+∞)、B的区间是[0，+∞)或者在$f(-\frac{b}{2a})＞0$时为$[f(-\frac{b}{2a}),+∞)$。

当对称轴在y轴右侧，即b＜0时，分两种情况。
一种是无交点或有一个交点时，即$-2\sqrt{2}≤b<0$时，A的区间含有[0，+∞)、B的区间是[0，+∞)或者在$f(-\frac{b}{2a})＞0$时为$[f(-\frac{b}{2a}),+∞)$；
另一种情况是有两个交点时，即$b＜-2\sqrt{2}$时，A的区间含有$[0,x_1]U[x_2,+∞)$，B的区间为$[0,x_1]U[x_2,+∞)$。所以，f(0)应是f(x)=0的解，即$x_1=\sqrt{2}$，解得$b=-2\sqrt{2}$。

综上，$b≥-2\sqrt{2}$。

第二问：a<0且a≠-1,$p(x)=ax^2+bx+(a+1)$，图象开口向下

当B=φ时

若a＜-1，p(0)=a+1<0,f(x)在0上无定义。

此时，分为三种种情况:
①$-\frac{b}{2a}<0$，即b＜0，对称轴在y轴左侧，此时，f(x)定义域要么为负区间，要么无区间。前者对应着△≥0，后者对应着△＜0。这样，B=φ。
②$-\frac{b}{2a}=0$，即b=0，对称轴在y轴，f(x)定义域为空，B=φ。
③$-\frac{b}{2a}＞0$，即b＞0，对称轴在y轴右侧，分两种情况，一种是与x轴无交点，此时，△＜0，0＜b＜$2\sqrt{a(a+1)}$，f(x)定义域为空，B=φ；另一种情况，与x轴有交点，A、B都不为空，不符合B=φ 的条件，不予考虑。
综合来说，b的取值范围是$（-∞，2\sqrt{a(a+1)}）$与a有关，而不是数字。

若-1＜a＜0，p(0)=a+1＞0,f(x)在0上有定义，这与B=φ矛盾。
此时，b无解。

当B≠φ时，
若a＜-1，p(0)=a+1<0,f(x)在0上无定义，
如对称轴在Y轴左边或在y轴上，B都为空集，与B≠φ矛盾，此时b无解。
如对称轴在Y轴右侧，p(x)与y轴有交点时，0∈B，但0不属于A，不满足A∩[0,+∞)=B，此时b无解；无交点时，A=φ，B=φ，此时b无解。

若-1＜a＜0,p(0)=a+1＞0,f(x)在0上有定义。此时，无论对称轴在y轴左侧、y轴、y轴右侧上，都满足$B=[0，f(-\frac{b}{2a})]$，$ f(-\frac{b}{2a})$是f(x)=0的一个较大的根，即$\sqrt{\frac{4a(a+1)-b^2}{4a}}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4a(a+1)}}{2a}$

整理后得到：$b=\sqrt{b^2-4a(a+1)}(\sqrt{-a}-1)$，而$\sqrt{-a}-1＜0$，所以上式不成立，b无解。

综上，b的取值范围是$（-∞，2\sqrt{a(a+1)}）$与a有关，而不是数字。

解答这道题，必须对二次函数的图象比较熟悉。