∫dθ/(1+e*cosθ)²怎么算

hbghlyj

由角动量守恒得出Kepler问题中$θ$和$t$的关系(Kepler第二定律):
这份讲义的45页的6.21式:

Time dependence The time dependence may be recovered by solving $\dot{\theta}=h u^{2}(\theta)$ as
$$
h t=\int \frac{\mathrm{d} \theta}{u^{2}(\theta)}=r_{0}^{2} \int \frac{\mathrm{d} \theta}{(1+e \cos \theta)^{2}}
$$
which gives $t$ as a function of $\theta$.

WolframAlpha:
Maple:

abababa

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令$u=\tan\frac{x}{2}$则$dx=\frac{2}{1+u^2}du$，$\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$，代入积分变为
\[2\int\frac{1+u^2}{[e(1-u^2)+(1+u^2)]^2}du\]

作部分分式分解，上式积分变为
\[\frac{1}{1-e}\int\frac{1}{(1-e)u^2+e+1}du+\frac{-2e}{1-e}\int\frac{1}{[(1-e)u^2+e+1]^2}du\]

第一项作部分分式分解，分母就是那个二次多项式的两个一次因子，变为$\int\frac{1}{Au+b}du$的形式，就能积出来。第二项也作部分分式分解，还是$\int\frac{1}{Au+b}du$的形式，也能积出来，就得到最后的结果了。